Wie berechnet man mit Hilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten den Ableitungsfunktion f'?

Question

Aufgabe:

In der folgenden Aufgabe soll der Zusammenhang zwischen Funktion f und der Ableitungsfunktion f' näher untersucht werden.

i) Bestimme für die folgenden Funktionsvorschriften mit Hilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten die Funktionsvorschrift der Ableitungsfunktion f'.
a) f1(x) = 2x²

b) f2(x) = 3x²

c) f3(x)= 5,5x²

d) f4 (x) = 5x²

e) f5(x)= -x²

f) f6(x)=-3x²

ii) Formuliere deine Beobachtung bei Betrachtung des Zusammenhangs zwischen der Funktion f und der Ableitungsfunktion f'.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man die beiden Aufgaben i) und ii) berechnet, da ich nicht weiß wie man den Ableitungsfunktion berechnet und vorgeht.

Kann es jemand bitte erklären wie man es berechnet.

Danke im Voraus!

Answer 1

a) (2(x+h)^2-2x^2)/h

= (2x^2+4hx+2h^2-2x^2)/h

= (4hx+2h^2)/h ) 4x + 2h = 4x für h ->0

f '(x) = 4x ist die Abelitngsfunktion von f(x)

Comments

a) (2(x+h)²-2x²)/h
= (2x²+4hx+h²-2x²)/h

Vermutlich nur ein Tippfehler in Zeile 2?

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Ich habe es verbessert, die 2 bei h vergessen.

Dankeschön.

Answer 2

mit Hilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten

Bedeutet: Betrachte den Grenzwert \(  \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}   \)

Bei a also \(  \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(x+h)^2-2x^2}{h}  = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2x^2+4xh + 2h^2 -2x^2}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{4xh + 2h^2 }{h}=4x \)

Answer 3

Aloha :)

Die Funktionen sind alle von der Form \(f(x)=c\cdot x^2\). Mit \(c\in\{2|3|5,5|5|-1|-3\}\).

Wir bestimmen daher die Ableitung allgemein für die Funktion \(f(x)=c\cdot x^2\). Dann brauchen wir nur 1-mal zu rechnen und können im Ergebnis die Konstante \(c\) durch den jeweiligen Wert für jede Teilaufgabe ersetzen.

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$Wenn wir darin \(h=0\) einsetzen würden, hätten wir eine Division durch Null, was nicht definiert ist. Daher müssen wir den Bruch vorher so umformen, dass wir das \(h\) "irgendwie" kürzen können:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{c\cdot\pink{(x+h)^2}-c\cdot x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{c\cdot\pink{(x^2+2xh+h^2)}-c\cdot x^2}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\cancel{c\cdot\pink{x^2}}+c\cdot\pink{2xh}+c\cdot\pink{h^2}-\cancel{c\cdot x^2}}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{c\cdot2xh+c\cdot h^2}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=c\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=c\cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{\green h\cdot(2x+h)}{\green h}=c\cdot\lim\limits_{h\to0}(2x+h)=c\cdot2x$$

Damit kannst du nun alle Ableitungen sofort hinschreiben:$$f'_1(x)=4x\;;\;f'_2(x)=6x\;;\;f'_3(x)=11x\;;\;f'_4(x)=10x\;;\;f'_5(x)=-2x\;;\;f'_6(x)=-6x$$