Sei A ∈ ℝM×N eine Matrix mit vollem Rang und M ≥ N. In dieser Aufgabe sollen Sie die Existenz einer Zerlegung der Form
A = UΣV⊤
Σ= (σN) ∈ RMxN, σN=diag(σ1,...,σN)∈ℝN×N
(0 )
für σ1 ≥ . . . σN > 0 beweisen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
a) Berechnen Sie A⊤A unter der Annahme, dass die Zerlegung existiert.
b)Leiten Sie damit den Zusammenhang zwischen den EW von A⊤A und σ1, . . . , σN her und erklären Sie, wie sich V zusammensetzt.
c) Erklären Sie, wie sich die ersten N Spalten von U bei Kenntnis von V und Σ berechnen lassen.
d) Was ändert sich, wenn wir statt des maximalen/vollen Rang nur Rang(A) = R < N voraussetzen?
Kann mir jemand diese Aufgabe erklären?