Primzahl bestimmen mit Hilfe von Teilermenge

Question

Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl und p > 3.
Dann ist p − 1 keine Primzahl, es gilt also T(p−1) > T(p) . Folgt daraus, dass

a) die Teilermenge von p! weniger Elemente als die (p −1)! von besitzt?
b) die Teilermenge von (p−1)⁴ mehr Elemente als die von p⁴ besitzt?

Begründen Sie Ihre Antworten.

Answer 1

Zu b)

p hat 2 Teiler, nämlich 1 und p.

p^4 hat 5 Teiler.

(p-1)^4 hat auf jeden Fall die Teiler 1, p-1, (p-1)^2, (p-1)^3 und (p-1)^4. Außerdem noch mindestens den Teiler 2, da p>3 ist und damit p-1>2 gilt.

Answer 2

a) nein, b) ja -

hast de eine Idee, wie man das zeigen kann? Darum gehts doch, insofern versteh das bitte nur als "Kontrolllösung".

Answer 3

p!=(p-1)!*p also ist jeder Teiler von (p-1)! auch ein Teiler von p!,

und außerdem hat p! den Teiler p, den hat (p-1)! nicht.

Somit hat p! mehr Teiler als (p-1)!.