Aloha :)
Die Tangentialebene an eine Funktion \(f(x;y)\) von zwei Veränderlichen im Punkt \((x_0;y_0)\) hat die allgemeine Form:$$z(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Wenn du das mit der Tangente einer Funktion \(g(x)\) an der Stelle \(x_0\) vergleichst, die nur von einer Variablen abhängt:$$y(x)=g(x_0)+g'(x_0)\cdot(x-x_0)$$erkennst du, wie das erweitert wurde.
Schön ist hier, dass wir \(f(2;2)=1\) schon gar nicht mehr zu berechnen brauchen, weil uns der \(z\)-Wert des Entwicklungspunktes \((x_0;y_0;z=f(x_0;y_0))=(2;2,1)\) bereits angegeben wurde.
Wir müssen also nur noch den Gradienten bestimmen:$$\operatorname{grad}f(2;2)=\binom{e^{x-y}}{-e^{x-y}}_{(2;2)}=\binom{e^{2-2}}{-e^{2-2}}=\binom{1}{-1}$$
Damit können wir die gesuchte Tangentialebene angeben:$$z=1+\binom{1}{-1}\cdot\binom{x-2}{y-2}=1+(x-2)-(y-2)$$$$z=1+x-y$$
