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Aufgabe:

Partialbruchzerlegung: Ermitteln Sie die Stammfunktion…


Problem/Ansatz:

\( \frac{44x³-93x²+8x}{x²(x-2)²} \)

Ich habe ein Problem mit dem Nenner, bzw. nur mit dem x².

\( \frac{A}{(x-2)} \) \( \frac{B}{(x-2)²} \) und wäre dann \( \frac{C}{(x-1)²} \) ?

Der Rest der Zerlegung und Bildung der Stammfunktion ist klar.

Wer kann mir helfen ?

Vielen Dank

Gruß

HorstFabian

Avatar von

Wenn du nicht kürzen willst, müsste der Ansatz dann nicht \(\,\large\frac A{(x-2)^2}+\frac B{x-2}+\frac C{x^2}+\frac Dx\) lauten?
https://www.wolframalpha.com/input?i=partial+fraction+4%2F%28%28x%5E2*%28x-2%29%5E2%29%29

So sehe ich das auch!

2 Antworten

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Zunächst kann man mit x kürzen. Die Partialbruchzerlegung nach dem Kürzen hat die Nenner (x-2), (x-2)2 und x. Zur Kontrolle - \( \frac{1}{(x-2)^2} \)+\( \frac{42}{x-2} \)+\( \frac{2}{x} \).

Avatar von 123 k 🚀

Hallo Roland,

erstmal Danke für deine Antwort. Allerdings kann ich deine Lösung nicht nachvollziehen.

Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

f(x) = \( \frac{A}{(x-2)²} \) + \( \frac{B}{(x-2)} \) + \( \frac{C}{x} \)

Multiplikation mit dem Hauptnenner

f(x) = \( \frac{A*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)²} \) + \( \frac{B*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)} \) + \( \frac{C*(x-2)²(x-2)*x}{x} \)

Vereinfachen:

f(x) = A*(x-2)*x+ B*(x-2)²*x + C*(x-2)²(x-2) ??

Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig!

Nehmen wir also an, es ließe sich nichts kürzen. Dann wäre di Partialbruchzerlegung so, wie sie Arsionoe oben genannt hat.

Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig

So steht es in meinen Lernheften. Der Zähler soll unberührt bleiben.

Hast du alle Antworten und Kommentare sorgfältig gelesen?

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Hallo,

Zähler: 44 x^3 -93x^2 +8x=   x(44 x^2 -93x +8)

Nenner: \( x^{2} \)  *  \( (x-2)^{2}\)

----->

x kürzen

----->

\( \frac{44 x^2 -93x +8}{x (x-2)^2} \) = \( \frac{A}{x} \) +\( \frac{B}{x-2} \) +\( \frac{C}{(x-2)^2} \)

Avatar von 121 k 🚀

Wie multipliziere ich das aus, wenn ich dann:

[A*(x-2)²(x-2)] + [B*(x-2)² * x] + [C * (x-2) * x]

habe ?

Mein Weg zu Ende gerechnet mittels Einsetzmethode:

HN=Hauptnenner

Zum Schluss noch Integrieren:

blob.png

OK, danke vielmals. Selbsterkenntnis ist jetzt vorhanden. Man sollte auch den Hauptnenner nehmen und nicht die Linearfaktorzerlegung :-)

Jetzt bin ich ein Stück schlauer.

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