Stammfunktion Partialbruchzerlegung Nennerproblem

Question

Aufgabe:

Partialbruchzerlegung: Ermitteln Sie die Stammfunktion…

Problem/Ansatz:

\( \frac{44x³-93x²+8x}{x²(x-2)²} \)

Ich habe ein Problem mit dem Nenner, bzw. nur mit dem x².

\( \frac{A}{(x-2)} \) \( \frac{B}{(x-2)²} \) und wäre dann \( \frac{C}{(x-1)²} \) ?

Der Rest der Zerlegung und Bildung der Stammfunktion ist klar.

Wer kann mir helfen ?

Vielen Dank

Gruß

HorstFabian

Comments

Wenn du nicht kürzen willst, müsste der Ansatz dann nicht \(\,\large\frac A{(x-2)^2}+\frac B{x-2}+\frac C{x^2}+\frac Dx\) lauten?
https://www.wolframalpha.com/input?i=partial+fraction+4%2F%28%28x%5E2*%28x-2%29%5E2%29%29

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So sehe ich das auch!

Answer 1

Zunächst kann man mit x kürzen. Die Partialbruchzerlegung nach dem Kürzen hat die Nenner (x-2), (x-2)² und x. Zur Kontrolle - \( \frac{1}{(x-2)^2} \)+\( \frac{42}{x-2} \)+\( \frac{2}{x} \).

Comments

Hallo Roland,

erstmal Danke für deine Antwort. Allerdings kann ich deine Lösung nicht nachvollziehen.

Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

f(x) = \( \frac{A}{(x-2)²} \) + \( \frac{B}{(x-2)} \) + \( \frac{C}{x} \)

Multiplikation mit dem Hauptnenner

f(x) = \( \frac{A*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)²} \) + \( \frac{B*(x-2)²(x-2)*x}{(x-2)} \) + \( \frac{C*(x-2)²(x-2)*x}{x} \)

Vereinfachen:

f(x) = A*(x-2)*x+ B*(x-2)²*x + C*(x-2)²(x-2) ??

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Ich möchte zunächst einmal nichts wegkürzen. Der Zähler soll mich erstmal nicht interessieren.

Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig!

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Nehmen wir also an, es ließe sich nichts kürzen. Dann wäre di Partialbruchzerlegung so, wie sie Arsionoe oben genannt hat.

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Genau, warum solltest du als Mathematik-Lernende(r)
es auch so machen, wie ein Mathematiker es machen würde.
Das ist doch ganz abwegig

So steht es in meinen Lernheften. Der Zähler soll unberührt bleiben.

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Hast du alle Antworten und Kommentare sorgfältig gelesen?

Answer 2

Hallo,

Zähler: 44 x^3 -93x^2 +8x=   x(44 x^2 -93x +8)

Nenner: \( x^{2} \)  *  \( (x-2)^{2}\)

----->

x kürzen

----->

\( \frac{44 x^2 -93x +8}{x (x-2)^2} \) = \( \frac{A}{x} \) +\( \frac{B}{x-2} \) +\( \frac{C}{(x-2)^2} \)

Comments

Wie multipliziere ich das aus, wenn ich dann:

[A*(x-2)²(x-2)] + [B*(x-2)² * x] + [C * (x-2) * x]

habe ?

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Mein Weg zu Ende gerechnet mittels Einsetzmethode:

HN=Hauptnenner

Zum Schluss noch Integrieren:

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OK, danke vielmals. Selbsterkenntnis ist jetzt vorhanden. Man sollte auch den Hauptnenner nehmen und nicht die Linearfaktorzerlegung :-)

Jetzt bin ich ein Stück schlauer.