Aber in welche Richtung gilt es, wenn F nur Injektiv ist?

Question

Wahr oder falsch mit kurzer Begründung.

In Block zwei denke ich, kann dimV=dimW nicht gelten, weil F nicht bijektiv ist. Aber in welche Richtung gilt es, wenn F nur Injektiv ist? Bei dem Rest bin ich mir nicht sicher.

Block 1:
Seien V ein K–Vektorraum, und v1, . . . , vn ∈ V linear unabängig.

a) Für jedes k < n sind die Vektoren v1, . . . , vk linear unabhängig.
b) Es gibt ein k < n, so dass die Familie (v1,...,vk) Basis von V ist.
c) Die Familie(v1,...,vn) ist genau dann eine Basis von V, wenn für jedes v∈V
die Vektoren v1, . . . , vn, v linear abhängig sind.
d) Sei U ein Teilraum von V mit dimU = k. Dann kann man stets
k Vektoren aus der Familie (v1, . . . , vn) auswählen, die eine Basis von U bilden.

Block 2:
Seien V, W zwei K–Vektorräume und F : V → W linear und injektiv.
a) Es gilt stets dimV = dimW.
b) Es gilt stets dimV ≥ dimW.
c) Es gilt stets dimV ≤ dimW.
d) Kern F ist ein Teilraum von V .
e) Kern F = {0V }.
f) BildF =W.

Answer 1

Zu Block 2:

a) ist falsch, da z.B. die natürliche Injektion \(F:V\rightarrow W\)

mit \(F(x)=x\) für einen echten Unterraum \(Vsubset W\) zwar injektiv ist,

aber nicht surjektiv.

b) ist "erst recht" falsch.

c) stimmt; denn \(\dim(V)=\dim(F(V))\) und \(F(V)\subseteq W\).

d) stimmt, wurde sicher bewiesen.

e) ist wahr; denn Injektivität einer linearen Abbildung

und Trivialität ihres Kerns sind äquivalent.

f) ist falsch, wenn F nicht surjektiv ist.