Zeigen Sie, dass die Parameterfunktion V (x)=4x³-2(a+b)x2 +abx das Volumen der Schachtel angibt.

Question

Aus einem rechteckigen Stück Papier mit der kürzeren Kantenlänge a und der längeren Kantenlänge b wird eine oben offene Schachtel gefaltet. Die Höhe der Schachtel werde mit x bezeichnet.

b

a) Zeigen Sie, dass die Parameterfunktion V (x)=4x³-2(a+b)x2 +abx das Volumen der Schachtel angibt. Machen Sie dazu einen geeigneten Ansatz.

b) Das Verhältnis der längeren Seite b zur kürzeren Seite a sei 1.4 (also: %1,4). Reduzieren Sie mit dieser Information die Funktion V,(x) auf (x)

Berechnen Sie nun das maximale Volumen der Schachtel in Abhängigkeit vom Parameter a. Geben Sie auch die Höhe an bei der das maximale Volumen erreicht wird.

c) Zeigen Sie, dass die gesamte Oberfläche der Schachtel (innen und außen) durch die Parameterfunktion 4, (x)=2ab-8x2 geeigneten Ansatz.

angegeben wird. Machen Sie dazu einen

d) Seien nun a und b beliebige Werte.

Berechnen Sie a und b so, dass für eine Höhe von 2,5 cm die Oberfläche den Wert 286cm

das Volumen den Wert 151,25 cm' hat.

Answer 1

Hallo,

a) Zeigen Sie, dass die Parameterfunktion V (x)=4x³-2(a+b)x^2 +abx das Volumen der Schachtel angibt. Machen Sie dazu einen geeigneten Ansatz.

Das Papier hat die Seitenlängen a und b. An den Ecken werden Quadrate mit der Seitenlänge x ausgeschnitten.

Damit sind die Kantenlängen des Quaders (a-2x) und (b-2x) sowie x.

V=(a-2x)(b-2x)x

Ausmultiplizieren:

\( V=a b x-2 a x^{2}-2 b x^{2}+4 x^{3} \)

Nun noch -2x² im mittleren Teil ausklammern, fertig!

:-)