Ist jeder Faktor den ich so erhalte überhaupt irreduzibel?

Question

Also, sagen wir ich habe die Aufgabe alle irreduziblen Faktoren von einem Polynom im Restklassenkörper F₅ zu finden.

Ich wäre nun so vorgegangen:

Nullstelle raten, entweder ergibt es direkt 0, oder durch modulo 5 kommt man auf 0.

Dann Polynomdivision mit der erratenen Nullstelle durchführen um weitere Nullstellen zu finden.

Alles in Linearfaktoren zerlegen.

Fertig.

Aber nun frage ich mich, ist jeder Faktor den ich so erhalte überhaupt irreduzibel, oder kann ich so auch einen "reduziblen" Faktor finden?

Answer 1

Sei \(p(x)=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\).

Man sieht, dass \(p\) keine Nullstelle in \(F_5\) hat.

Dennoch ist \(p\) reduzibel; denn

\(p=(x^2+x+1)(x^2+x+1)\).

Comments

Wie würde man das dann herausfinden?

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Ab dem Grad 4 kann es irreduzible Faktoren geben,

die nicht Linearfaktoren sind, sondern einen Grad \(\geq 2 \)

haben. Ein Polynom vom Grad 4 kann also das Produkt

zweier irreduzibler Polynome vom Grad 2 sein, z.B. hier

\(p=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\)

\(=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd\).

Koeffizientenvergleich liefert dann

ein Gleichungssystem für \(a,b,c,d\) mit

\(4\) Gleichungen.

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Aber bis Grad 3 sind sie immer nur Linearfaktoren?

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Nein.

Bis zum Grad 3 hat ein reduzibles Polynom

immer einen Linearfaktor.

Oder vielleicht noch klarer:

Ein Polynom höchstens 3-ten Grades ist genau

dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle im

Koeffizientenkörper besitzt.