Aloha :)
Definiere \(\vec r\coloneqq\vec r_2-\vec r_1\) als den Abstandsvektor zwischen \(m_1\) und \(m_2\).
Dann lautet das Gravitationpotential:$$\phi(r)=-G\frac{m_1\cdot m_2}{r}$$Das negative Vorzeichen zeigt an, dass es sich um ein Attraktionspotential handelt.
Die Kraft zwischen den beiden Massen ist der negative Gradient dieses Potentials:$$\vec F=-\operatorname{grad}\phi(r)=\operatorname{grad}\left(G\frac{m_1\cdot m_2}{r}\right)$$
Der Gradient einer Funktion \(f(r)\), die nur vom Betrag \(r=\|\vec r\|\) des Vektors und nicht von dessen Richtung abhängt, lautet:$$\operatorname{grad}{f(r)}=f'(r)\cdot\vec r^0$$Daher erhalten wir für die Kraft zwischen \(m_1\) und \(m_2\):$$\vec F=\underbrace{-G\,\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}}_{=\phi'(r)}\cdot\underbrace{\frac{\vec r}{r}}_{=\vec r^0}=-G\,\frac{m_1\cdot m_2}{r^3}\cdot\vec r$$
In den Formeln aus dem vorgelegten Text fehlen die Minuszeichen.
Die Gravitation ist immer anziehend.
