Doppelintegral lösen nur wie?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}I_{5}=\int \limits_{x=0}^{2} \int \limits_{y=1}^{2} \frac{x e^{x}}{y^{2}} d x d y \\ I_{6}=\int \limits_{x=0}^{1} \int \limits_{y=0}^{2} \frac{x}{1+x y} d x d y\end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen,

Wie gehe ich da vor? Hab da keine Ahnung wie der Ansatz ist.

Kann mir jmd. erklären was genau zu tun ist?!

Answer 1

\( \int \limits_{x=0}^{2} \int \limits_{y=1}^{2} \frac{x e^{x}}{y^{2}} d x d y  \)

\( =\int \limits_{x=0}^{2} x e^{x}\int \limits_{y=1}^{2} \frac{1}{y^{2}} d y d x  \)

\( =\int \limits_{x=0}^{2} x e^{x}  [ \frac{-1}{y}  ]_1^2   d x \)

\( =\int \limits_{x=0}^{2} x e^{x} \frac{1}{2}  d x \)

\( =[ \frac{x-1}{2} e^{x} ]_0^2 = \frac{e^2+1}{2}  \)

Entsprechend das andere mit

https://de.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Integrate%5BIntegrate%5BDivide%5B%5C%2840%29x%5C%2841%29%2C1%2Bx*y%5D%2C%7Bx%2C0%2C1%7D%5D%2C%7By%2C0%2C2%7D%5D&lang=en

oder so:

\( \int \limits_{x=0}^{1} \int \limits_{y=0}^{2} \frac{x}{1+x y} d x d y=\int \limits_{x=0}^{1} \int \limits_{y=0}^{2} \frac{x}{1+x y} d y d x \)

\( =\int \limits_{x=0}^{1}  [ ln(1+xy) ]_0^2 d x =\int \limits_{x=0}^{1}  (ln(1+2x)´-(ln(1)) d x \)

=  \( [   \frac{(2x+1)ln(2x+1)}{2} - x ]_0^1  \)

Comments

Ok vielen Dank. Wann genau kann ich denn dxdy vertauschen?

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Findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Fubini#Satz_von_Fubini_f%C3%BCr_das_Riemann-Integral