Bestimmen Sie eine zwei Basen

Question

Aufgab

Text erkannt:

Aufgabe 1. Gegeben sei die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & i & 0 \\ 0 & 1 & i \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \)
mit zugehöriger linearer Abbildung \( f=L_{A}: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3}, x \mapsto A \cdot x \).
(a) Bestimmen Sie eine Basis von \( \operatorname{Ker}(f) \).
(e) Geben Sie zwei Basen \( b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \tilde{b}=\left(\tilde{b}_{1}, \tilde{b}_{2}, \tilde{b}_{3}\right) \) mit
\( M(f, b, \tilde{b})=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
an.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß leider nicht wie man die e) löst. bzw. wie man zum Lösen vorgeht. Könnte es mir jemand erklären?

Ich vermute, dass M(f,b,b ^¯ )  das vorgehen evtl so aussieht: M(id,e,b¯) • A • M(id,b,e) weiß da aber auch nicht weiter

Answer 1

Es gibt ja 3 Eigenwerte. \( \frac{3+i\sqrt{3}}{2}  \) und \( \frac{3-i\sqrt{3}}{2}\)    und 0 .

Ich denke, wenn du zu jedem einen Eigenvektor nimmst hast du die Basis

 \( b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \)   .

Und wenn du die Bilder der ersten zwei und als 3. einen Basisvektor vom

Kern nimmst, hast du die Basis \( \tilde{b}=\left(\tilde{b}_{1}, \tilde{b}_{2}, \tilde{b}_{3}\right) \).