Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix bezüglich der gegebenen Basen

Question

Vorgelegt seien die geordneten Basen

\( B :=\left(1+\mathrm{X}, 1-\mathrm{X}, \mathrm{X}^{2}\right) \)

des \( \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{2} \) und

\( C :=\left(X^{4}+X^{3}, X^{3}+X^{2}, X^{2}+X, X+1,1\right) \)

des \( \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{4} \) sowie die lineare Abbildung

\( \varphi: \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathrm{Pol}_{\mathbb{R}}^{4}, \quad p(\mathrm{X}) \mapsto p\left(\mathrm{X}^{2}+1\right) . \)

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von \( \varphi \) bezüglich der gegebenen Basen und erklären Sie Ihr Vorgehen.

Answer 1

Du musst die Bilder der Basisvektoren von B mit der Basis C darstellen,

für den ersten etwa so:

FEHLER, s. Kommentare!

φ(1+x)= (1+x)^2 + 1 = 1 +2x + x^2 + 1 = 2  +2x + x^2

                            = 1* (x^2+x) + 1*(x+1) + 1

mit der ganzen Basis geschrieben

\( 0 \cdot (X^{4}+X^{3})  + 0 \cdot( X^{3}+X^{2} ) + 1 \cdot (X^{2}+X) + 1 \cdot ( X+1) + 1 \cdot 1 \)

Also hast du die erste (von 3 ) Spalten der Matrix:

\(\begin{pmatrix} 0 & ? & ? \\0 & ? & ? \\1 & ? & ? \\1 & ? & ? \\ 1 & ? & ? \end{pmatrix}\)

Comments

φ(1+x)= (1+x)2 + 1 = 1 +2x + x2 + 1 = 2  +2x + x2

                          = 1* (x2+x) + 1*(x+1) + 1

Wie bist du darauf gekommen?

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Es hieß doch:

\( \varphi: \operatorname{Pol}_{\mathbb{R}}^{2} \rightarrow \mathrm{Pol}_{\mathbb{R}}^{4}, \quad p(\mathrm{X}) \mapsto p\left(\mathrm{X}^{2}+1\right) . \)

Also muss man in das Polynom anstelle von X einsetzen x^2 +1

Oh pardon, ich sehe gerade, dass ich das wohl falsch gelesen hatte.

Wenn du also hast 1+X muss man daraus machen

1 +  x^2 +1 = x^2 + 2

Dann gibt das wohl

\( 0 \cdot (X^{4}+X^{3})  + 0 \cdot( X^{3}+X^{2} ) + 1 \cdot (X^{2}+X) + (-1) \cdot ( X+1) + 3 \cdot 1 \)

also ist die Matrix

\(\begin{pmatrix} 0 & ? & ? \\0 & ? & ? \\1 & ? & ? \\-1 & ? & ? \\ 3 & ? & ? \end{pmatrix}\)

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Die sieht dann so aus:

 \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 \\-1 & -1 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Ich hoffe das ist so richtig

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2. Spalte OK, aber ich meine die 3. Spalte ist falsch.

Das Polynom , was du abbilden musst, ist doch

p=X^2. Da jetzt x^2+1 einsetzen gibt

(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 also

\( 1 \cdot (X^{4}+X^{3})  + (-1)  \cdot( X^{3}+X^{2} ) + 3 \cdot (X^{2}+X) + (-3) \cdot ( X+1) + 4 \cdot 1 \)

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Achso ich habe anstatt x^2 einfach x^2 +1 eingesetzt anstatt x. Da lag ich wohl falsch. Vielen Dank

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Dann gibt das wohl\( 0 \cdot (X^{4}+X^{3})  + 0 \cdot( X^{3}+X^{2} ) + 1 \cdot (X^{2}+X) + (-1) \cdot ( X+1) + 3 \cdot 1 \)

Wie kommst du darauf?

Ich habe verstanden, wie man das Polynom (x^2+1) in B einsetzt. Aber nicht wie in C

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Du musst doch x⁴ + 2x² + 1 mit der Basis C als Linearkomb. darstellen.

Ich hatte da

\( 1 \cdot (X^{4}+X^{3})  +(-1) \cdot( X^{3}+X^{2} ) + 3 \cdot (X^{2}+X) + (-3) \cdot ( X+1) + 4 \cdot 1 \)

raus.

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Ich verstehe nicht, wie ich das mit der Basis C als Linearkombination darstelle

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Löse mal von meinem Vorschlag die Klammern auf

und fasse zusammen.

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Ah ich verstehe.

X^4+X^3-X^3-X^2+3X^2+3X-3X-3+4=X^4*2X^2+1

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Na das passt doch !