Unterraum beweisen urbild

Question

Seien \( V \) und \( W \) zwei \( K \)-Vektorräume. Außerdem sei \( \varphi \in \mathcal{L}(V, W) \). Beweisen Sie: Wenn \( U \) ein Unterraum von \( W \) ist, dann ist sein Urbild \( \varphi^{-1}(U) \) ein Unterraum von \( V \).

Comments

Hast du denn schon angefangen, z.B. gezeigt, dass

der Null-Vektor drin liegt?

Ein bisschen solltest du doch selber prüfen können!

Answer 1

Du musst zeigen:

0 ist in \( \varphi^{-1}(U) \) enthalten und \( \varphi^{-1}(U) \) ist

abgeschlossen bzgl. + und der Multiplikation mit Elementen aus K.

Da \( \varphi \)  linear ist, gilt \( \varphi(0)=0 \), und weil U ein

Unterraum ist, gilt 0∈U, also auch \( 0 \in \varphi^{-1}(U) \).

abgeschlossen bzgl. +:

Seien \( a \in \varphi^{-1}(U) \) und \( b \in \varphi^{-1}(U) \).

Zeige, dass wegen U ist Unterraum und der Linearität von \( \varphi \)

daraus auch \( a+b \in \varphi^{-1}(U) \)  folgt.

Etwa so:   \( \exists x,y \in U \text{mit }  \varphi(a)=x   \text{ und }  \varphi(b)=y \)

U Unterraum ==>   \( x+y \in U \text{ also }  \varphi(a)+ \varphi(b) \in U\)

\( \varphi \) linear ==>     \(   \varphi(a+b) \in U\)  ==>    \( a+b \in \varphi^{-1}(U) \) q.e.d.

Analog auch :

Abgeschlossenheit bei der Multiplikation mit Elementen aus K.