Zeigen sie dass |AB'|=|AC'|

Question

Aufgabe:

Es sei \( A B C \) ein Dreieck mit dem Umkreis \( k \). Es bezeichne \( C^{\prime} \) den zweiten Schnittpunkt der Höhe \( h_{C} \) mit \( k \) und \( B^{\prime} \) den zweiten Schnittpunkt der Höhe \( h_{B} \) mit \( k \). Machen Sie eine Skizze. Zeigen Sie, dass \( \left|A B^{\prime}\right|=\left|A C^{\prime}\right| \).
Hinweis: Untersuchen Sie die Winkel \( \angle B^{\prime} B A \) und \( \angle A C C^{\prime} \).

Problem:

Ich habe die Winkel untersucht, und komme auf das Ergebnis, dass sie gleich groß sind. Ich weiß jetzt allerdings nicht, wie mir das weiterhilft. Ich dachte, dass vielleicht der sinussatz weiterhelfen könnte, aber das macht hier iwie nicht so viel Sinn. Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Hallo,

Diese Skizze hast Du ja schon:

Wenn die beiden besagten Winkel (oben gelb markiert) gleich sind, dann heißt das auch, dass die Sehnen \(AB'\) und \(AC'\) (rot markiert), die die Winkel aus dem Kreis schneiden, gleich lang sind. Dies ist die Umkehrung des Umfangswinkelsatzes.

Interessant: auch der Schnittpunkt \(H\) der Höhen hat denselben Abstand zu \(A\)!

Gruß Werner

Comments

Danke dir vielmals! Habe es verstanden :)

Answer 2

Ja, du hast recht, die Winkel sind wirklich gleichgroß. Weiter kommst du vermutlich mit Ähnlichkeit und Umfangswinkeln über der gleichen Sehne. Am Ende mit kongruenten Dreiecken.

Comments

Ahh okay, das leuchtet ein. Danke dir!