Rekonstruktionsaufgabe, dritten Grades

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grad schneidet g(x)=x−1 bei x=−1. Der Graph hat einen Wendepunkt WP(1f(1)) mit der Tangente t(x)=−3x+5. Wie lautet der Funktionstermin für f(x).

Problem/Ansatz:

Guten Tag,

ich schreibe am Freitag eine Matheklausur und mein Lehrer erklärt wirklich garnichts und sagt, wir sollen es selber herausfinden. Heute haben wir eine Aufgabe bekommen, die relevant ist für die Klausur meinte er, da sie ähnlich dran kommen wird.

Die Aufgabe lautet:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grad schneidet g(x)=x−1 bei x=−1. Der Graph hat einen Wendepunkt WP(1f(1)) mit der Tangente t(x)=−3x+5. Wie lautet der Funktionstermin für f(x).

Die Bedingungen dafür habe ich bereits aufgestellt. Sie lauten:
1. f(−1)=−2
2. f"(1)=0
3. f(1)=t(1)
4. f′(1)=t′(1)=−3

Korrigiert mich bitte, falls ich die Bedingungen falsch aufgestellt habe.
Wie mache ich mit diesen Gleichungen jetzt ein LGS? Komme da echt null weiter und will nix falsches machen, da ich es unbedingt verstehen muss für die kommende Klausur.

Könnte mir jemand das komplette lgs dafür machen damit ich das als vorlage fürs lernen benutzen kann und so weitere berechnen.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wenn die Koordinaten und sogar die Steigung des Wendepunktes gegeben sind, kannst Du die ganzrationale Funktion 3.Ordnung leichter über die Symmetrie derselben bestimmen. Bezogen auf ihren Wendepunkt ist sie ungerade, was zur Folge hat, dass Du sie in folgender Form aufstellen kannst:$$f(x)=a(x-x_w)^3 + f'(x_w)(x-x_w) + f(x_w)$$wobei \(x_w\) die X-Koordinate des Wendepunktes ist. Hier ist \(x_w=1\). Aus der Wendetangente \(t(x)\) folgt$$f(x_w) = t(x_w) = -3 \cdot (-1) + 5 = 2 \\f'(x_w)=t'(x_w) = -3$$Und schon kann man schreiben:$$f(x)=a(x-1)^3 - 3(x-1) + 2$$Und der Parameter \(a\) folgt aus dem Punkt \((-1|\,g(-1)=-2)\)$$f(-1 )= a(-1-1)^3 - 3(-1-1) + 2 = -2 \implies a= \frac{5}{4}$$

https://www.desmos.com/calculator/q8c8b1dbk7

ausmultipliziert: $$f(x)=\frac{5}{4}x^{3}-\frac{15}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}$$Gruß Werner

PS.: falls Du Dir die Gleichung mit dem Wendepunkt nicht merken kannst, so setze mal \(x=x_w\)  in die Gleichung selbst und ihre Ableitung ein. Dann versteht man es.

Comments

Sehr schöne Lösung, die aber viele Schüler - und möglicherweise auch einige Lehrkräfte - überfordern könnte.

Ich kenne viele Mathe-Lehrkräfte, die leider bereits ab der 7. Klasse nur mit Lösungsbüchern arbeiten...

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Sehr schöne Lösung, die aber viele Schüler - und möglicherweise auch einige Lehrkräfte - überfordern könnte.

es fällt aber schon auf, dass jedesmal wenn eine Steckbriefaufgabe zu einer kubischen Funktion kommt, dass praktisch jedesmal der Wendepunkt und oft auch seine Steigung gegeben ist.

Warum wohl? Warum nicht vier Punkte oder die Steigung irgendwo anders?

Ich kenne viele Mathe-Lehrkräfte, die leider bereits ab der 7. Klasse nur mit Lösungsbüchern arbeiten...

Leerkräfte - oder?

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Leerkräfte - oder?

Leider. Ich habe selbst 37 Jahre Mathe und Physik unterrichtet und fand besonders die Leistungskurse bzw. Physik-Profile sehr interessant. Meinen Kollegen ist das zuviel Arbeit. Deshalb ist an meiner Schule seitdem kein Physik-Profil mehr angeboten worden.

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Könntest du mir bitte das LGS untereinander aufschreiben, wie man es üblich macht?

Wenn Du die vier Bedingungen gegeben hast:$$1.\space f(−1)=−2\\ 2.\space f"(1)=0\\ 3.\space f(1)=t(1)=2\\ 4.\space f′(1)=t′(1)=−3$$kannst Du sie natürlich auch hier einsetzen:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$um die Parameter a, b, c und d zu berechnen. Das sähe im Detail so aus:$$\begin{array}{rrrrrrrrr} (-1)^3a&+&(-1)^2b&+&(-1)c &+& d &=& -2 \\ 6\cdot(1)a &+&2b& &&&&= &0 \\ (1)^3a&+&(1)^2b&+&(1)c &+ &d &= &2 \\ 3\cdot(1)^2a&+&2\cdot(1)b&+&c & &&= &-3 \\ \end{array}$$um sich Schreibarbeit zu sparen lässt man aber bei der weiteren Rechnung die Parameter a, b, c und d weg. Dasselbe LGS sieht dann so aus:$$\begin{array}{cccc|c}-1& 1& -1& 1& -2\\ 6& 2& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 2\\ 3& 2& 1& 0& -3\end{array}$$Dann sortierst Du es, so dass die Zeilen mit den Nullen hinten nach oben kommen$$\begin{array}{cccc|c}6& 2& 0& 0& 0\\ 3& 2& 1& 0& -3\\ 1& 1& 1& 1& 2\\ -1& 1& -1& 1& -2\end{array}$$Anschließend multipliziere die zweite Zeile mit 2, die dritte mit 6 und die vierte mit -6 und ziehe jeweils die erste Zeile davon ab$$\begin{array}{cccc|c}6& 2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0& -6\\ 0& 4& 6& 6& 12\\ 0& 8& -6& 6& -12\end{array}$$das Ziel ist es, in den unteren drei Zeilen der ersten Spalten nur noch Nullen stehen zu lassen.

Dann multipliziere die zweite Zeile einmal mit 2 und einmal mit 4 und ziehe dies jeweils von der dritten und vierten Zeile ab. Das gibt dann Nullen in der zweiten Spalte ab der Hauptdiagonalen:$$\begin{array}{cccc|c}6& 2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0& -6\\ 0& 0& 2& 6& 24\\ 0& 0& -14& 6& 12\end{array}$$und nun noch die dritte Zeile mit 7 multiplizieren, damit man dies zur vierten Zeile addieren kann, um dort die -14 zu eliminieren$$\begin{array}{cccc|c}6& 2& 0& 0& 0\\ 0& 2& 2& 0& -6\\ 0& 0& 2& 6& 24\\ 0& 0& 0& 48& 180\end{array}$$In der letzten Zeile steht jetzt $$48d = 180 \implies d = \frac{180}{48} = \frac{15}{4}$$ und dies Ergebnis kannst Du in die dritte Zeile einsetzen und dann \(c\) berechnen - usw.

Das Ziel dieser Aktion ist es, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur noch 0'en stehen bleiben. Und anschließend kannst Du die Unbekannten von unten nach oben suksessive berechnen. Du darfst zwischen durch auch mal eine Zeile durch eine Zahl (hier die 2) dividieren, damit die Zahlen kleiner werden. Ich habe hier darauf verzichtet, um die Erklärung nicht zu überladen.

Weiter ist es auch nicht notwendig, dass auf der Hauptdiagonalen nur 1'en stehen bleiben. So wie ich es oben gemacht habe, rechnet es sich mit ganzen Zahlen einfacher.

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hier gibt es auch noch eine ausführliche Erklärung.

Answer 2

Hallo,

mit dem Ansatz

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

f''(x)=6ax+2b

bekommst du vier Gleichungen für vier Variable.

1. f(−1)=−2=-a+b-c+d

2. f"(1)=0=6a+2b

3. f(1)=t(1) → a+b+c+d=-3+5=2

4. f′(1)=t′(1)=−3=3a+2b+c

Erst einmal d eliminieren:

(3)-(1) → 2a+2c=4 bzw. a+c=2      (5)

c eliminieren:

(4)-(5) → -5=2a+2b    (6)

(6)-(2) → -5=-4a → a=5/4=1,25

(2) → b=-3a=-3,75

(5) → c=2-a=0,75

(3) → 1,25-3,75+0,75+d=2 → d=3,75

f(x)=1.25x³-3.75x²+0.75x+3.75

https://www.desmos.com/calculator/dno7z45okx

Comments

Könntest du mir bitte das LGS untereinander aufschreiben, wie man es üblich macht? Wie Oben akzeptiert es mein Lehrer nicht

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Wie Oben akzeptiert es mein Lehrer nicht

gibt Euch der Lehrer vor, dass Ihr das LGS so aufstellen müsst, wie in Montys Antwort? Die Aufgabe ließe sich ohne LGS ja viel einfacher lösen ...

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Mein Lehrer will beispielsweise sowas haben:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { I) } 2 x-3 y-1 z=1 \\ \text { II) }+2 y+3 z=1 \\ \text { II) } 4 x+2 y+3 z=6\end{array} \mid \) sort.

Damit komme ich null klar.. xD

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Mein Lehrer will beispielsweise sowas haben:

Ok - aber das alles ist nicht nötig, um die Funktion zu bestimmen (s. meine Antwort)

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@Petitkcl

Könntest du mir bitte das LGS untereinander aufschreiben, wie man es üblich macht?

Dazu habe ich, ehrlich gesagt, keine Lust.

:-)

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\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & -3 \\ 6 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\)

Addiere die 1. und die 2. Zeile:

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & -3 \\ 6 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\)

Multipliziere die 1. Zeile mit 3 und addiere sie zur dritten.

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -2 & 3 & -9 \\ 6 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)\)

Multipliziere die 1. Zeile mit 6 und addiere sie zur vierten.

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & -2 & 3 & -9 \\ 0 & 8 & -6 & 6 & -12 \end{matrix}\right)\)

Multipliziere die 2. Zeile mit -2,5 und addiere sie zur dritten.

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & -9 \\ 0 & 8 & -6 & 6 & -12 \end{matrix}\right)\)

Multipliziere die 3. Zeile mit -3 und addiere sie zur vierten.

\(\left(\begin{matrix} -1 & 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 15 \end{matrix}\right)\)

Das ergibt d = 15 : 4 = 3,75

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Danke, Silvia!

:-)

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Danke an euch beiden!