Darstellende Matrix mit komplexen Zahlen berechnen

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℂ² → ℂ³ diejenige lineare Funktion mit

f(\( \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 1+i\\-i\\1 \end{pmatrix} \) und f(\( \begin{pmatrix} i\\1 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} 1+i\\1\\i \end{pmatrix} \)

a) Berechnen Sie dir darstellende Matrix von f bzgl. der Standardbasen von ℂ² und ℂ³ .

b) Berechnen Sie mit der darstellenden Matrix f(\( \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \)) und f(\( \begin{pmatrix} i\\1 \end{pmatrix} \)), um das Ergebnis zu überprüfen.

Problem/Ansatz:

Normalerweise beginne ich bei Aufgaben der darstellenden Matrix immer damit die Bilder der Basisvektoren der ersten Basis zu berechnen. Wäre hier für \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \). Verstehe aber nicht, wie ich die Funktion auf die beiden Vektoren anwenden könnte??

Hätte vielleicht jemand einen Tipp oder würde mir seine Lösung der Aufgabe präsentieren?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Du weißt, wie die darstellende Matrix \(F\) auf zwei Vektoren wirkt:$$F\cdot\binom{1}{i}=\begin{pmatrix}1+i\\-i\\1\end{pmatrix}\quad;\quad F\cdot\binom{i}{1}=\begin{pmatrix}1+i\\1\\i\end{pmatrix}$$

Diese beiden Gleichungen kannst du in einer Matrix-Gleichung zusammenfassen:$$F\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & i\\i & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+i & 1+i\\-i & 1\\1 & i\end{array}\right)$$

Diese Matrix-Gleichung kannst du direkt lösen:$$\small F=\left(\begin{array}{cc}1+i & 1+i\\-i & 1\\1 & i\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & i\\i & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1+i & 1+i\\-i & 1\\1 & i\end{array}\right)\cdot\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1 & -i\\-i & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-i & 0\\1 & 0\end{array}\right)$$

Einschub:

Die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix braucht man sehr oft. Man kann sie sofort hinschreiben, indem man auf der Hauptdiagonalen die Elemente vertauscht und auf der Nebendiagonale die Vorzeichen wechselt. Dann muss man noch durch die Determinante dividieren.$$\left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{rr}d & -b\\-c & a\end{array}\right)^{-1}\quad\implies\quad\left(\begin{array}{rr}1 & i\\i & 1\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}1 & -i\\-i & 1\end{array}\right)$$

zu b) Wir machen die Probe:

$$F\cdot\binom{1}{i}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-i & 0\\1 & 0\end{array}\right)\binom{1}{i}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\-i\\1\end{pmatrix}+i\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+i\\-i\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$$$F\cdot\binom{i}{1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-i & 0\\1 & 0\end{array}\right)\binom{i}{1}=i\cdot\begin{pmatrix}1\\-i\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}i+1\\1\\i\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank! :)

\( \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \) bringst Du also im dritten Schritt auf die andere Seite, indem du die Inverse bildest und diese an die andere Matrix dran multiplizierst? Wusste ehrlich gesagt nicht, dass das so möglich ist :D

Was, wenn man dort eine Matrix hätte, die sich nicht invertieren lässt oder überhaupt keine Matrix hat, sondern nur einen Vektor, der abgebildet wird?

Zudem geht es jetzt um die Standardbasen, was müsste ich anders machen, wenn zwei andere Basen, also eben nicht die Standardbasen, gegeben wären?

Liebe Grüße!

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Dass du das nicht wusstest, liegt nicht an dir, sonden an deinem Leerer, er weiß es vermutlich auch nicht ;)

Wenn du eine Matrix hast, die sich nicht invertieren lässt, gibt es zwei Gründe.

(1) Die Matrix hat mehr Spalten als Zeilen. In diesem Fall lässt du einfach Spalten weg, um eine quadratische Matrix zu erhalten und die Abbildungsmatrix zu bestimmen. Anschließend musst du dann noch prüfen, dass auch die weggelassenen Gleichungen durch die Abbildungsmatrix erfüllt werden. Ist das nicht der Fall, gibt es keine lineare Abbildung, die alle Gleichungen erfüllt.

(2) Die Matrix ist quadratisch aber nicht invertierbar. Dann kannst du mit den gegebenen Punkten keine eindeutige Abbildungsmatrix berechnen. Dir fehlen schlicht Informationen.

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Vielen lieben Dank!

Okay, verstehe soweit.

Wie sähe die Aufgabe aber aus, wenn die darstellende Matrix bzgl. zwei anderer Basen (also nicht Standardbasen) berechnet werden soll?

Liebe Grüße :)

Answer 2

Aus Bequemlichkeitsgründen schreibe ich die Vektoren
als Zeilenvektoren.

Man hat das LGS

\((1,i)=1\cdot (1,0)+i\cdot (0,1)\) und

\((i,1)=i\cdot (1,0)+1\cdot (0,1)\)

Drücke nun die Standardeinheitsvektoren

als Linearkombinationen von \((1,i)\) und \((i,1)\) aus,

d.h. löse das LGS nach \((1,0)\) und \((0,1)\) auf.