Zeigen Sie, dass B:= {v1, v2, v3} eine Basis des ℝ3 ist.

Question

Aufgabe:

Es seien v1= (1,0,2), v2=(1,1,0), v3=(3,2,1) und v4=(-2,1,-3) ∈ℝ³

a) Zeigen Sie, dass B:= {v1, v2, v3} eine Basis des ℝ³ ist.

b) Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren bzgl. des Standardskalarprodukt auf B an.

Problem/Ansatz:

a) Zwei Ansätze, die mir einfallen:

Möglichkeit 1: Prüfen, ob v1, v2, v3 linear unabhängig sind und dementsprechend  Rang = 3 haben und eine Basis bilden

Möglichkeit 2: Zeigen dass man v4 als Linearkombination aus  v1, v2, v3 erzeugen kann.

Sind beide Möglichkeiten korrekt, um dies zu zeigen?

b) Ist es erlaubt die Vektoren erst zu normieren und im Anschluss das Verfahren durchzuführen? Falls ja, empfiehlt es sich dies in der Reihenfolge zu machen?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Comments

a) Möglichkeit 1 funktioniert.

Möglichkeit 2 nicht.

b) Du kannst die Vektoren zu Beginn schon normieren. Aber ob das wirklich etwas bringt? Die iterativ berechneten Basisvektoren musst du dann trotzdem nochmal normieren.

Answer 1

a) Nur die 1. Möglichkeit macht Sinn.

b) Du kannst aber erst ein Orthogonalsystem bilden

und dann normieren.