Bestimme a 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt A hat.

Question

Aufgabe

Bestimme a > 0 so, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den angegeben Inhalt A hat.

Problem/Ansatz:

A)

f(x)= -x^2 + 2a^2

g(x)= x^2

A=72

Answer 1

Hallo,

bilde die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x), setze sie = 0 und löse nach x auf.

Ergebnis x = a

Wegen der Symmetrie zur y-Achse genügt es, wenn du das Integral von 0 bis a mit der Stammfunktion \(H(x)=-\frac{2}{3}x^3+2a^2x\) berechnest und = 36 setzt.

\(H(a)=-\frac{2}{3}a^3+2a^3=\frac{4}{3}a^3\quad H(0)=0\\\\ \frac{4}{3}a^3=36\\ a^3=27\\ a=3\)

Gruß, Silvia

Comments

Hallo, wieso nur =36 und nicht =72?

Answer 2

\(f(x)= -x^2 + 2a^2\)     \(g(x)= x^2 \)        \(A=72\)

Schnittpunkte:

\( -x^2 + 2a^2=x^2\)

\(x^2=a^2\)

\(x=|a|\)  entfällt , da \(a>0\)   \(x=a\)

Differenzfunktion:

\(d(x)=-x^2 + 2a^2-x^2=-2x^2+2a^2\)

Da beide Graphen symmetrisch zur y-Achse sind:

\(36= \int\limits_{0}^{a} (-2x^2+2a^2)dx=[-\frac{2}{3}x^3+2a^2*x]→[ -\frac{2}{3}a^3+2a^3 ]-0=\frac{4}{3}*a^3\)

\(\frac{4}{3}*a^3=36\)   →    \(\frac{1}{3}*a^3=9\)   → \(a^3=27\)  →  \(a=3\)

Comments

Hallo, wieso =36?

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Du kannst das Integral von -a bis a berechnen und = 72 setzen oder nur von 0 bis a, was die halbe Fläche ist. Das ändert nichts am Ergebnis, denn rechts und links der y-Achse sind die Flächenstücke gleich groß.

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Achso ok, danke! Woran erkennt man so einen Fall? Einfach nur weil es -a -> a ist?

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Bei den Graphen handelt es sich jeweils um unverschobene Parabeln, die symmetrisch zur x-Achse sind.

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Bei einer Aufgabe b) ist die Frage nun mit

f(x) = x^2

g(x) =ax

A =4/3

Als Schnittpunkte komme ich auf A und 0.

Wie würde ich jetzt weiter vorgehen?

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\(f(x)=x^2\)     \(g(x)=a*x\)       \(A=\frac{4}{3}\)

Nullstellen:

\(x^2=a*x\)       \(x^2-a*x=0\)        \(x*(x-a)=0\)         \(x_1=0\)    \(x_2=a\)

Differenzfunktion:

\(d(x)=x^2-a*x\)

\(\frac{4}{3}= \int\limits_{0}^{a}(x^2-a*x)dx =...\)

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genau, ich komme auf a = 2