Wie kann ich beweisen, dass dies allgemein für alle ℤp gilt?

Question

Aufgabe:
$$\overline{a} +\overline{b} =\overline{a+b} \  und\  \overline{a} \times \overline{b} =\overline{a\times b}$$ in den ganzen Zahlen ℤ_p soll bewiesen werden.
Beispiel für ℤ₅: Es existieren nur die Zahlen 0,1,2,3,4.
$$\overline{3} +\overline{4} =\overline{2} \  bzw.\  \overline{3+4} =7=\overline{2}$$

Problem/Ansatz:
Wie kann ich beweisen, dass dies allgemein für alle ℤp gilt?

Comments

Was bedeuten die Überstriche?

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Soll eig bedeuten, dass die Werte darunter gerade in dem jeweiligen "System" angegeben sind.

Sprechen wir zB über das 5er System ℤ₅, so gilt: $$14_{10}=4_{5}=\overline{4} $$

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Die Oberstriche stehen stellvertretend für alle erdenklichen Zahlensysteme ℤ_p mit p = ℕ\{0}

Ein weiteres Beispiel im 5er System:

4₅+3₅+2₅+2₅ = 2₅+2₅+2₅ = 4₅+2₅ = 1₅

oder in einem berechnen: 4₅+3₅+2₅+2₅ = 11 = 1₅

Dass das direkt zusammenrechnen und erst anschließende umrechnen in entsprechende Zahlensystem möglich ist, soll also bewiesen werden.

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Und wie habt ihr + und × auf ℤp definiert? Die angegebenen Identitäten sind meist bereits die Definition dieser Verknüpfungen..

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Sorry, man soll lediglich "Wohldefiniertheit" zeigen.

Also, dass der Wert des Produkts $$\overline{a} \times \overline{b}$$ nicht von den gewählten Repräsentanten a, b ∈ ℤ abhängt.

Finde aber im Skript leider auch keine Definitionen. Wie ist dies denn üblicherweise definiert?

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Die Verknüpfungen auf ℤp werden oftmals genau durch

\( \bar a + \bar b~ := \overline{a+b} \) und \( \bar a \cdot \bar b ~:= \overline{a\cdot b}\)

definiert. Man muss dann aber die Vertreterunabhängigkeit bzw. Wohldefiniertheit dieser Definition zeigen.

Setze so an: Ist \( \bar a = \bar c \) und \( \bar b = \bar d \). Dann ist a-c und b-d durch n teilbar. Insbesondere ist auch

a-c + b-d = a+b - (c+d)

durch n teilbar. Das wiederum bedeutet gerade \( \overline{a+b} = \overline{c+d} \). Also gilt $$ \bar a + \bar b = \overline{a+b}=\overline{c+d} = \bar c + \bar d $$ Das Ergebnis hängt insb. nicht von den gewählten Vertretern ab.

Bei der Multiplikation geht man analog vor.

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@MatHaeMatician genau um die Wohldefiniertheit geht es.

Leider komme ich nicht auf den Sinn hinter Deinem Beweis. Was sagt denn durch n teilbar aus?

Könntest Du es vielleicht etwas verbalisierend begleiten?

Liebe Grüße und vielen Dank!

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Die Grundrechenarten gelten auch in den Restklassen modulo p (p prim). Das kann man 100 mal nachlesen.

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Was sagt denn durch n teilbar aus?

In deiner Frage n=5. Und zwei Restklassen modulo 5 sind identisch, wenn die Differenz ihrer Vertreter durch 5 teilbar ist. Z.B.

$$ \dotsm = \overline{-5} = \overline{0} = \overline{5} = \overline{10} = \dotsm $$ $$ \dotsm = \overline{-4} = \overline{1} = \overline{6} = \overline{11} = \dotsm $$ $$ \dotsm = \overline{-3} = \overline{2} = \overline{7} = \overline{12} = \dotsm $$

Rechne einfach mal nach..

Answer 1

Hallo

ich lass die Überstriche weg und rechne nur in Zp jeden Vertreter a kann ich Scheiben als

a=a1+k1*p mit   mit a1<p

b=b1+k2*p

a+b=a1+b1+(k1+k2)* falls a1+b1>p kann man k1+k2  um 1 verfrüßern D.h. man kann immer auf die kleinsten Repräsentanten zurückrechnen.

Gruß lul