Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße

Question

Aufgabe:

Beim Würfelspiel „2 & 12* werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Die Bank zahlt dem Spieler das Zehnfache der Augensumme in Cent aus, sofern diese 2 oder 12 ist. Bei der Augensumme 3 oder 11 erhält er das Fünffache in Cent und bei der Augensumme 4 oder 10 das Doppelte in Cent. Bei den Augensummen 5 bis 9 wird soviel in Cent ausbezahlt, wie die Augensumme angibt.

a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße „Auszahlung der Bank" an.

b) Welchen Einsatz muss die Bank mindestens verlangen, damit sie längerfristig keinen Verlust macht?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir fassen das Geplapper aus dem Text anschaulich zusammen.

In der folgenden Tabelle steht die Augensumme in schwarz und die Auszahlung in pink:$$\begin{array}{c|cccccc}& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\\hline 1 & 2|\pink{20} & 3|\pink{15} & 4|\pink{8} & 5|\pink{5} & 6|\pink{6} & 7|\pink{7}\\2 & 3|\pink{15} & 4|\pink{8} & 5|\pink{5} & 6|\pink{6} & 7|\pink{7} & 8|\pink{8}\\3 & 4|\pink{8} & 5|\pink{5} & 6|\pink{6} & 7|\pink{7} & 8|\pink{8} & 9|\pink{9}\\4 & 5|\pink{5} & 6|\pink{6} & 7|\pink{7} & 8|\pink{8} & 9|\pink{9} & 10|\pink{20}\\5 & 6|\pink{6} & 7|\pink{7} & 8|\pink{8} & 9|\pink{9} & 10|\pink{20} & 11|\pink{55}\\6 & 7|\pink{7} & 8|\pink{8} & 9|\pink{9} & 10|\pink{20} & 11|\pink{55} & 12|\pink{120}\end{array}$$

zu a) Wir lesen die Auszahlungsbeträge und ihre Wahrscheinlichkeiten ab:$$\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}\text{Betrag in ct.} & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 15 & 20 & 55 & 120\\\hline\\[-2ex]\text{Wahrscheinl.} & \frac{4}{36} & \frac{5}{36} & \frac{6}{36} & \frac{8}{36} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} & \frac{4}{36} & \frac{2}{36} & \frac{1}{36}\end{array}$$

zu b) Die Bank kann den Erwartungswert für die Auszahlung als Refernz nehmen. Diesen muss sie mindestens als Einsatz für ein Spiel verlangen, um keinen Verlust zu machen:$$\mu=5\cdot\frac{4}{36}+6\cdot\frac{5}{36}+7\cdot\frac{6}{36}+\cdots+120\cdot\frac{1}{36}=\frac{532}{36}=14,\overline 7\,\mathrm{ct.}$$Als Einsatz muss die Bank also mindestens $15\,\mathrm{ct.}$ verlangen.