Welche Maße hat die Glasfront? Exponentialfunktion Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Eine Halle hat eine Breite von 26 Metern. In der Mitte ist sie 6 Meter hoch, an den Rändern 2 Meter.

Für -13 ≤ x ≤ 13 wird das Hallendach modelliert.

Die dazugehörige Exponentialfunktion lautet: f(x)= 6•e^-0,0065x^2.

a) Extrema und Wendepunkte ermitteln

b) Eine möglichst große rechteckige Glasfront soll eingebaut werden. Welche Maße hat die Glasfront?

c) Die Frontfläche der Halle ist etwa 113,67 m^2 groß. Nun soll eine qudratische Funktion aufgestellt werden, welche durch die Punkte P(0|6) geht sowie durch die Randpunkte. Welche Fläche ergibt sich für die Frontseite?

Problem/Ansatz:

Bitte um schnelle Antwort, vielen Dank!!!

Comments

Exponentialfunktion lautet: f(x)= 6•e^-0,0065x²

Bitte Funktion schnell richtig hinschreiben, vielen Dank!!!

6•e^-0,0065x² ≠  6•e^(-0,0065x²)

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Die Halle ist an den Rändern 2 m hoch. Ich denke, das könnte die Parabel ruhig wiedergeben.

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Das tut sie ja.

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Das tut sie ja.

AHA?

6 - 0.024·13^2 = 1.944

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Die (falsch aufgeschriebene) Exponentialfunktion ist auch gerundet.

Exakt:

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Die (falsch aufgeschriebene) Exponentialfunktion ist auch gerundet.

Das ist ein Fehler des Lehrers, die ein Schüler nicht nachmachen sollte. Immerhin ist die Exponentialfunktion aber gerundet auf Millimeter genau. Bei der Parabel ist die Abweichung mehr als 5 cm!

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das könnte die Parabel ruhig wiedergeben

Nach der Parabel ist doch überhaupt nicht gefragt.

Answer 1

Hallo,

a)

\(f(x)=6e^{-0,0065x^2}\\ f'(x)=-\frac{39}{500}xe^{-0,0065x^2}\\ f''(x)=\frac{507x^2-39000}{500000}\cdot e^{-0,0065x^2}\)

b)

\(A=2x\cdot f(x)=2x\cdot e^{-0,0065x^2}\\ A'=-\frac{39x^2-3000}{250}\cdot e^{-0,0065x^2}\)

c) \(g(x)=-\frac{4}{169}x^2+6\)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank! Sorry für die Nachfrage, wie komme ich auf die Gleichung von c)? Ich habe Probleme die selber zu berechnen.

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Die Parabel hat die allgemeine Form \(g(x)=ax^2+6\)

Um a zu bestimmen, setzt du die Koordinaten eines Randpunktes ein.

\(2=a\cdot 13^2+6\\ -4=169a\\ a=-\frac{4}{169}\)

Answer 2

a) Extrema: f'(x) =0

6*(-0.0025x)*e^(-0.0025x^2) =0

-0,015x*e^(-0.0025x^2) =0

-0,015x = 0

x=0

e^(-0.0025x^2)= 0

entfällt, kann nicht 0 werden

WP: f''(x)= 0

Wende die Produktregel an!

x= ...

zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

b) A(x) = x*f(x)

Berechne:

A'(x)= 0

c) g(x) = ax^2+bx+c

g(0) = 0

g(13)= f(13)

g(-13) = f(-13)

g(x) = ...

Integriere g(x) von 0 bis 13 und verdopple das Ergebnis.

G(x)= ...

Answer 3

Wobei hast du genau Probleme?

Bitte um schnelle Antwort, vielen Dank!!!

Comments

Die Ableitungen zu bestimmen und die Quadratische Funktion zu bilden

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Nutze zur Hilfe https://www.ableitungsrechner.net/

f(x) = 6·e^(- 0.0065·x^2)
f'(x) = - 0.078·x·e^(- 0.0065·x^2)
f''(x) = e^(- 0.0065·x^2)·(0.001014·x^2 - 0.078)

Wenn dir der Umgang mit Dezimalzahlen zu schwer fällt und du keine brüche nutzen willst nimm zunächst Buchstaben

a = 0.0065

f(x) = 6·e^(- a·x^2)
f'(x) = - 12·a·x·e^(- a·x^2)
f''(x) = e^(- a·x^2)·(24·a^2·x^2 - 12·a)

So erkennst du besser, was mit den Zahlen passiert.

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Von der quadratischen Funktion kennt man den Scheitelpunkt (0 | 6) und einen weiteren Punkt (13 | 2). Damit solltest du fast direkt die Scheitelpunktform aufstellen können.

p(x) = 6 - 4/13^2·x^2

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Vielen Dank. Dumme Frage: die Scheitelpunktform lautet: f(x)=a•(x-x_s)+y oder? Wie komme ich zu 4/13^2?

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Wenn der Scheitelpunkt im Ursprung liegt dann lautet die Parabel

y = a·x^2 → a = y/x^2

Den Öffnungsfaktor a bestimmt man also, indem man das was man vom Scheitelpunkt in Richtung y gehen muss durch das was man in Richtung x gehen muss zum Quadrat.

Wenn du also vom Scheitelpunkt (6 | 0) zum Punkt (13 | 2) gelangen möchtest, musst du 4 Einheiten nach unten gehen und 13 Einheiten nach rechts.

Damit kannst du dann direkt den Öffnungsfaktor aufstellen.

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Dankeschön !