Spur einer Matrix: Spur(AB) = Spur(BA)

Question

Aufgabe:

Ich soll zeigen bei einer nxn-Matrix gilt: Spur(AB) = Spur(BA)

Problem/Ansatz:

A·B=

$$\begin{pmatrix}a_{11}&...&a_{1m}\\ ...&...&...\\ a_{n1}&...&a_{nm}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_{11}&...&b_{1m}\\ ...&...&...\\ b_{n1}&...&b_{nm}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+...+a_{1m}b_{n1}&...&...\\ ...&...&...\\ ...&...&a_{n1}b_{1m}+...+a_{nm}b_{nm}\end{pmatrix}$$

=> Spur(AB) = b₁₁a₁₁+...b_1ma_n1+...+b_n1a_1m+...+b_nma_nm

Wenn ich das ganze noch für B·A erledige, sollte Spur(AB) = Spur(BA) gezeigt sein oder?

Ist das richtig und gibt es noch einen eleganteren Weg?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Seien \(A,B\) \(n\times n\)-Matrizen. Dann ist

\(Spur(AB)=\sum_{i=1}^n (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}=\)

\( = \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^n b_{ki}a_{ik}=\sum_{k=1}^n (BA)_{kk}=Spur(BA)\)

Comments

Vielen Dank! Kann es sein, dass Du dich bei dem vorletzten Summenzeichen vertippt hast? Dort steht i=0 und es müsste wahrscheinlich i=1 heißen?

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und es müsste wahrscheinlich i=1 heißen?

Ja, sorry, habe es korrigiert.

Answer 2

Sieht gut aus! Eigentlich reicht als Begründung die Kommutativität aus, da ich problemlos die einzelnen Produkte b₁₁a₁₁+...b_1ma_n1+...+b_n1a_1m+...+b_nma_nm sofort zu a₁₁b₁₁+...a_n1b_1m+...+a_1mb_n1+...+a_nmb_nm umschreiben kann und daraus folgt dann auch schon spur(BA) = spur(AB)

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Vielen Dank!