Prädikatenlogik Existenzquantor Allenquantor

Question

Aufgabe: O ist Menge der Osterhasen, E die Menge der Ostereier. Für $$o \in O$$ und $$e \in E$$ können unterschiedliche Aussagen formuliert werden.

Formuliere folgende Aussagen umgangssprachlich

$$\exists o \forall e:~ o ~\text{versteckt}~ e$$

Problem/Ansatz: Es existiert ein Osterhase für alle Ostereier, sodass der Osterhase die Eier versteckt

Answer 1

Es gibt einen Osterhasen, der alle Ostereier versteckt.

Comments

Ich sehe es so:

Es gilt für mindestens einen Osterhasen und für alle Ostereier: Der Osterhase versteckt ein Ei.

Mindestens ein Osterhase versteckt ein Ei.

Kein Osterhase versteckt ein Ei nicht = Alle Osterhase verstecken ein Ei.


Wo ist mein Fehler, falls existent?

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Es gilt für mindestens einen Osterhasen und für alle Ostereier

Die Aneinanderreihung von unterschiedlichen Quantoren kann man nicht als und auffassen.

1. Es gibt mindestens einen Osterhasen.
2. Einen dieser Osterhasen nenne ich \(o\).
3. Der Osterhase \(o\) hat die Eigenschaft

            \(\forall e:\ o\text{ versteckt } e\),

   er versteckt also alle Ostereier.

Im Gegensatz dazu bedeutet

        \(\forall e \exists o:\ o\text{ versteckt } e\),

dass jedes Osterei von einem Osterhasen versteckt wird. Insbesondere darf sich hier jedes Osterei einen anderen Osterhasen aussuchen, um von ihm versteckt zu werden.

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Wie liest man die Quantorenabfolge in einem einzigen Satz?

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Es ist oft schwierig, mathematische Formalismen adäquat zu verbalisieren. Entweder es klingt nicht natürlich, oder es ist nicht präzise genug. Das ist mit ein Grund, warum Formalismen erfunden wurden.

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Danke für die Erklärung. :)

Wittgenstein indes sagt:

Was sich überhaupt sagen lässt, lässt sich klar sagen;

und wovon man nicht reden kann, darüber muss man schweigen.

Und der kommt aus der Logik.

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Ich drücke die Folge \(\exists\forall\) häufig so aus
"Es gibt ..., so dass für alle ...". Das liefert in der Regel
einen eindeutigen präzisen Satz, siehe meine Antwort.

und nebenbei:
der mathematische Formalismus ist eine klare Sprache.

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"Es gibt ..., so dass für alle

Sollte dann nicht ein Doppelpunkt nach dem Existenzquantor stehen?

So kenne ich es aus anderen Fällen.

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Nein. In vielen Büchern über formale Logik wird kein Doppelpunkt
verwendet, da die Abfolge der Quantoren und deren Wirkungsbereich
(Bindung der Variablen) eindeutig ist.

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Danke, gut zu wissen.
Ich hoffe, es bleibt hängen. :)

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Okay. Jetzt geht es anders herum

"Es gibt einen Osterhasen, der keine Eier versteckt."

Meine Idee $$\exists o \forall e$$:o versteckt e nicht

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Ja, dem kann ich nur zustimmen.

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Das ist richtig so.

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Okay super.

Jetzt wird es komplizierter

"Es gibt einen Osterhasen, der ein Ei versteckt."

Da habe ich $$\exists o \exists e:$$ o versteckt e

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Auch richtig.

Übrigens ist das Prädikatenlogik, nicht Aussagenlogik.

In der Aussagenlogik stehen die Variablen für Aussagen. \(o\) ist aber keine Aussage, sondern ein Osterhase.

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Super!

Danke für den Hinweis. Kann ich den Titel nachträglich noch ändern?

Weiter geht es

"Es gibt Eier, die von keinem Osterhasen versteckt werden."

$$\exists e \nexists o$$: o versteckt e

Ich denke das habe ich falsch

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Ich habe keine Lust mehr. Das Spiel ist langweilig.

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Danke jedenfalls bis hier hin oswald! :)

Kann mir jemand anderes weiterhelfen? Oder ist das einfach wieder richtig?

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Ja. Das ist richtig.

Answer 2

Es gibt einen Osterhasen, sodass für alle Eier gilt, dass er sie versteckt,

also auf den Punkt gebracht ist das die Aussage von Oswald.