Bestimmen Sie diese Nullstelle auf eine Dezimale gerundet.

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}-1 ; x \in \mathbb{R} \), hat nur zwei Nullstellen. Eine Nullstelle liegt zwischen 1 und 2. Bestimmen Sie diese Nullstelle auf eine Dezimale gerundet. Geben Sie die zweite Nullstelle an. Begründen Sie Ihre Lösung.

Problem/Ansatz:

wie rechne ich das aus? Muss ich für x 1 und 2 setzen?

Comments

Die Aufgabenstellung lässt vermuten, dass die fragliche Nullstelle nicht exakt ermittelt werden soll, sondern numerisch z.B. mittels Intervallhalbierungsmethode (Bisektion). Kann das sein?

Answer 1

Hallo

du setzt x^2=y und löst die quadratische Gleichung, nur positive y führen dann zu den 2 Lösungen für x.

Gruß lul

Comments

Ich versteh nicht ganz, wie ich x2 zu y umwandeln soll.

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Nicht umwandeln, sondern substituieren ist gemeint.

Das will lul sagen.

Meist nimmt man: x^2= z oder einen anderen Buchstaben, weil y nach Funktion klingt

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Hallo

x^2=y, x^4=y^2

dann hast du 1/2y^2-y-1=0 zu lösen . Am Ende x=√y

Gruß lul

Answer 2

1/4*x^4-x^2-1=0

x^4-4x^2-4 = 0| *4

x^2= z

z^2-4z-1=0

pq-Formel:

z1/2 = 2+-√(4+1)

z1= 2+√5

z2= 2-√5

x= +-√z

...

Comments

@ggT du hast die falsche Funktion benutzt

lul

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Danke, ich habe es gerade gemerkt und korrigiert.

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Warum schreibst du die Lösung fertig auf, statt zu warten ob Kitty mit dem Tip zurecht kommt.

lul

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Welche dieser angeblichen Lösungen liegt denn zwischen 1 und 2 ?

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@Arsinoé

die Frage verstehe ich nicht?

lul

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"Die Funktion hat nur zwei Nullstelle"

und ist außerdem symmetrisch zur y-Achse!

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@lul

In der Aufgabenstellung heißt es

Eine Nullstelle liegt zwischen 1 und 2. Bestimmen Sie diese...

Answer 3

\( f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}-1 ; x \in \mathbb{R} \)

\( 0=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}-1 ~~~~~|\cdot2\)

\( 0=x^4-2x^2-2 ~~~~~~ x^2=z\)

\(0=z^2-2z-2\)

...

:-)

Bei Fragen fragen.

Answer 4

f ( x ) = 1/2 * x^4 - x^2 -1
siehe monty
Nullstelle
1/2 * x^4 - x^2 -1 = 0 | * 2
x^4- 2x^2 - 2 = 0
x^4- 2x^2 + ( 1^2 ) = 2 + 1
substitution z = x^2
z^2 - 2 * z + 1 = 3

( z - 1 )^2 = √ 3
z -1 = ± √ 3
z (1) = +√ 3 + 1
z ( 1 ) = 1.732 + 1 = 2.732
x ( 1 ) ^2 = 2.732
x ( 1,1 ) = +1.653
x ( 1,2 ) = -1.653

z (2) = -√ 3 + 1
z ( 2 ) = -0.732

x ^2 =  √-0.732
keine Lösung

Comments

( z - 1 )^2 = √ 3

soll wohl  3 lauten

Answer 5

Weg ohne Substitution:

\( f(x)=\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}-1  \)

\(\frac{1}{2} x^{4}-x^{2}-1 =0 \)

\( x^{4}-2x^{2} =2 \)

\( x^{4}-2x^{2} +(\red{\frac{2}{2})^2}=2 +(\red{\frac{2}{2})^2}\)

\( (x^{2}-1)^2=3 |±\sqrt{~~~}\)

1.)

\( x^{2}-1=\sqrt{3} \)

\( x^{2}=1+\sqrt{3} |±\sqrt{~~~} \)

\( x_1= \sqrt{1+\sqrt{3}}≈1,7 \)

\( x_2= -\sqrt{1+\sqrt{3}}≈-1,7 \) 

2.)

\( x^{2}-1=-\sqrt{3} \)

\( x^{2}=1-\sqrt{3}|±\sqrt{~~~} \) liegen ∉ ℝ