Komplexe Gleichung richtig ausklammern

Question

Aufgabe:

(\( z^{2} \)-(1+i))(\( z^{2} \)+1+i)=0

Problem/Ansatz:

kann diese Aufgabe nicht lösen, da ich nicht weiß, wie man vorgehen soll. Muss z zunächst in (x+iy) aufgelöst werden? Ist das dann eine binomische Formel? Am Ende habe ich so viele Terme, die miteinander multipliziert werden müssen, um alles auszuklammern, dass ich den Überblick verliere. Und in der Klausur soll soetwas innerhalb von 15 Minuten gelöst sein.

Bitte um Hilfe

neo

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Muss z zunächst in (x+iy) aufgelöst werden? : Nein.
Ist das dann eine binomische Formel? Ohne "dann" : Ja, und zwar die dritte
Und von da ab am besten mit Polarkoordinaten, dann ist innerhalb von 15 Minuten gelöst ein Klacks.

Answer 1

Hallo,

erste Klammer gleich Null:

\(z^2=1+i=\sqrt2 \cdot e^{i\pi/4}\)

\(z_1=\sqrt[4]2\cdot e^{i\pi/8}\)

\(z_2=\sqrt[4]2\cdot e^{i\cdot 9\pi/8}\)

Zweite Klammer gleich Null:

...

:-)

Comments

ist z² nicht -1-i ? oder 1+i = -z²

das ändert doch die Lösung, oder nicht? Der Rest ist mir klar geworden, danke! Nullprodukt habe ich in den Jahren verdrängt...

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ist z^2 nicht -1-i ? oder 1+i = -z^2

Ja, das gilt, wenn die zweite Klammer gleich Nu!! ist.

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habe die Aufgabe weiter gerechnet und dabei ein neues Problem festgestellt.

Bei der zweiten Klammer ist -1-i auf der anderen Seite. Wenn ich den arctan berechne greift ja die Regel arctan(\( \frac{y}{x} \)) -π

Bei einer logischen Lösung sollte es jedoch +π sein.

-i kann man doch auch als -(1)i schreiben und damit wäre y und x kleiner als 0, was -π zu Folge hat. Oder stimmt das nicht?

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Hallo,

der Tangens hat die Periode π. Du kannst daher +π oder -π rechnen.

-1-i ist im dritten Quadranten, also ist der Winkel

¼π + π = 5π/4

oder

¼π - π = -3π/4

:-)

Answer 2

(\( z^{2} -(1+i))•( z^{2} +1+i)=0\)

Satz vom Nullprodukt:

1.)

\( z^{2} -(1+i)=0\)

\( z^{2} =1+i | \sqrt{~~}\)

\( z_1 =  \sqrt{1+i}\)

\( z_2 =  -\sqrt{1+i}\)

2.)

\( z^{2} +1+i=0\)

\( z^{2} =-i-1 | \sqrt{~~}\)

\( z_3 =  \sqrt{-1-i}\)

\( z_4 =  -\sqrt{-1-i}\)

Die Wurzelterme lassen sich bestimmt umformen. Das weiß ich aber nicht.

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Danke für die Erinnerung an die Existenz des Nullproduktes. Habe ich verdrängt

Answer 3

Ich würde da zuerst mal an die "dritte binomische Formel" denken !

(z²-u)·(z²+u) = z⁴ - u²

u² = (1+i)² = 2 i  = 2 · e^iπ/2

z⁴ = 2 i = 2 · e^iπ/2

z ∈ { .... , .... , .... , .... }

https://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz