Funktion aufstellen Monotonie

Question

Aufgabe: Geben Sie eine ganzrationale Funktion mit folgenden Eigenschaften an und begründen Sie:

* streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4

*streng monoton fallend auf x>0 und streng monoton steigend für x<0

Problem/Ansatz: Grad 4 bedeutet ja

$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$ aber weiter komme ich nicht

Comments

Hast du vielleicht bei der Angabe "streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4" einen Fehler gemacht?

Answer 1

streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null

Streng monoton wachsend für \(x\neq 0\)  bedeutet \(f'(x)>0\)

für \(x\neq 0\) und du hast ja bisher

\(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\). Kannst du damit was anfangen?

Du musst ja nur eine Funktion angeben. Daher bietet es sich an,

nur ungerade Potenzen zu nehmen; denn die Ableitung

der geraden wechselt in x=0 ihr Vorzeichen, nimm also

\(f(x)=bx^3+dx\), wo also \(f'(x)=3bx^2+d\) ist,

mit geeigneten b und d. Leider ist der Grad \(\leq 4\)

und nicht gleich 4.

Stattdessen kann keine ganzrationale Funktion vom Grad 4

die geforderten Eigenschaften haben.

Comments

nur ungerade Potenzen zu nehmen gestaltet sich bei  Grad 4 einigermaßen schwierig.

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Das ist mir klar. Daher meine weiteren Bemerkungen.

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Was genau heißt eigentlich streng monoton wachsend für x ≠ 0 ?

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Nimmt man a=0 (wie du vorzuschlagen scheinst), ist aber der Grad der Funktion nicht mehr 4, sondern kleiner.

Grad 4 war aber (für die erste Teilfrage) vorgegeben !

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naja dann müsste ich doch die erste Ableitung bilden. Das hast du für mich getan.

Warum wechselt es bei x=0 die Vorzeichen? Ich habe nicht ganz verstanden, warum ich nur die ungeraden Exponenten betrachten soll.

Ist das denn schon die Lösung, dass es keine solche Funktion geben kann?

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Die erste Ableitung von einem f, das den Grad 4 hat,

besitzt den Grad 3. Ein Polynom vom Grad 3

nimmt immer sowohl an unendlich vielen Stellen positive als

auch an unendlich vielen Stellen negative Werte an.

Answer 2

* streng monoton wachsend für alle Zahlen außer Null und Grad 4

Eine solche Funktion gibt es nicht.

*streng monoton fallend auf x>0 und streng monoton steigend für x<0

\(f(x) = -x^2\)