Flächeninhalt mit Grenze im Unendlichen

Question

Aufgabe:Untersuche, welchen Inhalt man erhält wenn man die Gerade x=6 nach Rechts ins Unendliche verschiebt. ?

Problem/Ansatz: Graph f2(x)= (-4•x-2)e^-x

Nullstellen bei x1=0,5, x2: 6

A= 2,36 bei den Grenzen 0,5-6

Comments

Die Nullstelle ist bei -0,5.

Die Fläche bis 6 ist nach W-Alpha: ca. A = 6,52

Bis ins Unendliche ist sie ca. A = 6,59

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f₁(x) = (-4·x-2)·exp(-x)x = 6

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion $F(x)$ für$$f(x)=(-4x-2)\cdot e^{-x}=\underbrace{-(4x+2)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v'}$$mittels partieller Integration:$$F(x)=\underbrace{-(4x+2)}_{=u}\cdot \underbrace{(-e^{-x})}_{=v}-\int\underbrace{(-4)}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\,dx=(4x+2)e^{-x}-\int4e^{-x}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(4x+2)e^{-x}-4(-e^{-x})+C=(4x+6)e^{-x}+C$$

Die Fläche des Graphen von $f(x)$ zwischen $x=0,5$ und $x=6$ liefert das Integral:$$F_6=\left|\int\limits_{-0,5}^6(-4x-2)\cdot e^{-x}\,dx\right|=\left|F(6)-F(-0,5)\right|=\left|-\frac{30}{e^6}+4\sqrt e\right|\approx6,5205$$Die Betragszeichen sind wichtig, weil die Funktion $f(x)$ bei $x=-0,5$ ihre einzige Nullstelle hat (die Exponentialfunktion ist immer positiv) und der Graph für $x>-0,5$ unterhalb der $x$-Achse verläuft.

Wenn die obere Grenze $6$ ins Unendliche verschoben wird, lautet die Fläche:$$F_\infty=\left|\int\limits_{-0,5}^\infty(-4x-2)\cdot e^{-x}\,dx\right|=\left|F(\infty)-F(-0,5)\right|=\left|0+4\sqrt e\right|=4\sqrt e\approx 6,5949$$

Entscheidend ist hier die Erkenntnis, dass die Fläche endlich ist.

Answer 2

Bestimme

        $\lim\limits_{a\to \infty}\, \int\limits_{0,5}^a f_2(x)\,\mathrm{d}x$

Comments

Ich verstehe deinen Gedanken dahinter nicht, wenn ich in die Lösungen schaue, steht dort A unendlich= 2,426

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Ich bekomme da eine andere Lösung, s.o.

Answer 3

Schau dir hier eine ähnliche Aufgabe mit einem interaktiven GeoGebra an. Vielleicht hilft dir das!?

Comments

Also irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, ich verstehe gar nichts mehr. Weil in meinen Lösungen für die Aufgabe die Größe des Flächeninhalts der ist, der bei der Einsetzung von 0,5 beim Integral raus kam, nur dass jetzt die Vorzeichen getauscht wurden und die Fläche positiv ist.

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GeoGebra zu Deiner Aufgabe .. schieb den Regler nach rechts und schau, wie groß die Fläche wird. Sie wird betragsmäßig immer größer, aber nicht unendlich groß. Wenn dir die Idee klar ist, kannst du mal versuchen, das bestimmte Integral mit einer Obergrenze gegen Unendlich zu rechnen.