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Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion \(F(x)\) für$$f(x)=(-4x-2)\cdot e^{-x}=\underbrace{-(4x+2)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v'}$$mittels partieller Integration:$$F(x)=\underbrace{-(4x+2)}_{=u}\cdot \underbrace{(-e^{-x})}_{=v}-\int\underbrace{(-4)}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-x})}_{=v}\,dx=(4x+2)e^{-x}-\int4e^{-x}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=(4x+2)e^{-x}-4(-e^{-x})+C=(4x+6)e^{-x}+C$$
Die Fläche des Graphen von \(f(x)\) zwischen \(x=0,5\) und \(x=6\) liefert das Integral:$$F_6=\left|\int\limits_{-0,5}^6(-4x-2)\cdot e^{-x}\,dx\right|=\left|F(6)-F(-0,5)\right|=\left|-\frac{30}{e^6}+4\sqrt e\right|\approx6,5205$$Die Betragszeichen sind wichtig, weil die Funktion \(f(x)\) bei \(x=-0,5\) ihre einzige Nullstelle hat (die Exponentialfunktion ist immer positiv) und der Graph für \(x>-0,5\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.
Wenn die obere Grenze \(6\) ins Unendliche verschoben wird, lautet die Fläche:$$F_\infty=\left|\int\limits_{-0,5}^\infty(-4x-2)\cdot e^{-x}\,dx\right|=\left|F(\infty)-F(-0,5)\right|=\left|0+4\sqrt e\right|=4\sqrt e\approx 6,5949$$
Entscheidend ist hier die Erkenntnis, dass die Fläche endlich ist.
