Eine Aussage zu K-Untervektorräumen

Question

Hallo zusammen. Ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen und entweder verstehe ich sie nicht oder sie ist eventuell nicht richtig gestellt.

Aufgabe:

20. (a) Sei K ein Körper und V = \( K^{2} \)   aufgefasst als K-Vektorraum. Für x = \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \)   ∈ V definieren wir die Menge Kx := { λ · x : λ ∈ K } ⊆ V. Zeigen Sie:
(ii) Zu jedem K-Untervektorraum U≠V von V gibt es ein x ∈ V mit U = Kx.

Ansatz:

Mir fällt leider nicht ein, weshalb die zu zeigende Aussage wahr sein soll. Deshalb habe ich versucht, die Aussage zu widerlegen. Es würde sehr lange dauern, alles von Hand einzutippen. Kurzgesagt habe ich gezeigt, wie die Teilmenge U ⊆ V mit U = { λ₁ · \( \begin{pmatrix} u\\u \end{pmatrix} \) + λ₂ · \( \begin{pmatrix} w\\w \end{pmatrix} \) : λ₁ , λ₂ ∈ K } für ein u ∈ K und ein w ∈ K mit 0≠u≠w≠0 ein K-Untervektorraum ist, der von V verschieden ist und für den es kein x ∈ V gibt, sodass Kx = U gilt.

Ist der Gedanke richtig oder habe ich die Aussage einfach nicht verstanden und sie ist doch wahr?

Answer 1

für den es kein x ∈ V gibt, sodass Kx = U gilt.

Das ist nicht wahr. Für \(u\neq 0\) ist

\(\begin{aligned} & \lambda_{1}\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}+\lambda_{2}\cdot\begin{pmatrix}w\\ w \end{pmatrix}\\ = & \lambda_{1}\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}+\lambda_{2}\cdot\begin{pmatrix}\frac{w\cdot u}{u}\\ \frac{w\cdot u}{u} \end{pmatrix}\\ = & \lambda_{1}\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}+\lambda_{2}\cdot\begin{pmatrix}\frac{w}{u}\cdot u\\ \frac{w}{u}\cdot u \end{pmatrix}\\ = & \lambda_{1}\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}+\lambda_{2}\cdot\frac{w}{u}\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}\\ = & \left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\cdot\frac{w}{u}\right)\cdot\begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix}\\\in\ & K \begin{pmatrix}u\\ u \end{pmatrix} \end{aligned}\)

Comments

Bedeutet das, dass alle Untervektorräume, welche von V verschieden sind, Geraden sind?

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Da gibt noch den Untervektorraum {0}. Aber ansonsten sind es Geraden.

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Ok, vielen Dank für die Hilfe.