Funktionsscharen und E-Funktionen (Mit Taschenrechner)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen fa mit \(f_a(x)=x^2 \cdot e^{-a \cdot x}; a \in \R^+\).
Die zugehörigen Graphen werden mit Ga bezeichnet.

a) Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den der Punkt \( \left(1 \mid \frac{1}{2}\right) \) auf \( G_{a} \) liegt.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von \( G_{a} \) in Abhängigkeit
von a. Begründen Sie, dass der Hochpunkt für jeden Wert von a im ersten Quadranten
liegt, und beschreiben Sie, wie sich seine Lage mit dem Wert von a ändert.
( zur Kontrolle: Extremstellen von \( f_{a}: x_{1}=0 ; x_{2}=\frac{2}{a} \) )

c)  Für \( a=0,2 \) und jeden Wert von b mit \( b \in \mathbb{R}^{+} \)sind die Punkte \( A(0 \mid 0), B(b \mid 0) \) sowie der Punkt
\( \left.C|b| f_{0,2}(b)\right) \) gegeben.
Bestimmen Sie denjenigen Wert für b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal ist, und geben Sie den zugehörigen Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Ich konnte Aufgabe a und zum Teil b machen jedoch komme ich danach nicht mehr weiter und bräuchte Hilfe

Comments

mit fa(x)=x^2 • e^-a • x, a E IR+

Hast Du damit

f_a(x) = x^2 · e^-ax   , a ∈ ℝ⁺

schreiben wollen?

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Ja wollte ich

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Hier findest du die Lösung(en):

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MontyPython hat die Schreibweise in der Aufgabe entschlumpft.

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Schönes Wort!

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MontyPython hat die Schreibweise in der Aufgabe entschlumpft.

"Sagt mal, wo kommt ihr denn her? ..."

;-)

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Zuletzt gab es eine ZDF-Filmnacht mit genau diesen Liedern. Ich fand sie toll, weil ich die Texte kannte.

Ich werde diese wunderschöne Wortkreation von Döschwo auf jeden Fall weiter in diesem Forum und wahrscheinlich außerhalb dessen verwenden. Mega!

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Zuletzt gab es eine ZDF-Filmnacht mit genau diesen Liedern. Ich fand sie toll, weil ich die Texte kannte.

So alt bist du schon?  ;-)

A propos Schlümpfe (und deren Vadder Abraham):

Sprach Abraham zu Bebraham: "Du, kann ich mal dein Zebra hamm?"

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abakus, du Vogel, du solltest dich nicht über mein (gleich deinem) Alter wundern. Anton hatte mir diese Formel geschenkt, die auch einige Zeit mein Profilbild war:

\( \sqrt{\frac{\left(\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \mathrm{~d} x\right)^{2}-\cos \left(\frac{5 \pi}{2}\right)}{\prod \limits_{n=1}^{\infty} \frac{4 n^{2}}{4 n^{2}-1}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}-\frac{2}{3}\left(\int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}+\left|\begin{array}{cc}59 & -56 \\ 1 & 60\end{array}\right|}=60 \)

Und ja, ich finde es tatsächlich schön, wenn ich mal Texte mitsingen kann, die ich auch als solche (und nicht als Geschrei) wahrnehme und verstehe. :-)

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@Silvia:

Dein Link ist ellenlang. Um welches Abi-Jahr geht es?

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Das Jahr 2017.

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Danke, ich habs gefunden. :)

Answer 1

a) f(1) = 1/2

1^2*e^(-a*1)= 1/2

-a = ln(1/2)= ln1-ln2 =0 -ln2 = -ln2

b) f '(x)= 2x*e^(-ax)+x^2*(-a)*e^(-ax) = e^(-ax)*(2x-ax^2)

f '(x) = 0

2x-ax^2 =0

x(2-ax) =0

x= 0 v x= 2/a

c)  A(x)= x*f(x)/2

x/2* x^2*e^(-0.2x) = x^3/e^(0,2x)

A'(x) = 0

...

x= 15

https://www.wolframalpha.com/input?i=maximize+x%5E2*e%5E%28-0.2x%29*x%2F2++