Bestimme den Grenzwert der Funktion: lim ( (3^x - 3)/3^{x-1} )

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert der Funktion:

\( G_{1}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{x}-3}{3^{x-1}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(3 \cdot \frac{3^{x}-3}{3^{x}}\right)=3 \cdot \underbrace{\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3^{x}-3}{3^{x}}\right)}_{\rightarrow 1}=3 \cdot 1 \)

Wieso wird im zweiten Schritt aus der 3^x-1 eine 3^x und wieso wird dann mit 3 multipliziert.

Answer 1

Hi,

auch hier wurde das Potenzgesetz verwendet.

Beachte, dass im Nenner 3^{x-1} = 3^x*3^{-1} steht.


Und 3^{-1} kann durch Vorzeichendrehen des Exponenten in den Zähler hochgeholt werden -> Es steht nun vor dem Bruch :).


Grüße

Comments

okay das habe ich kappier, dann kann ich die 3^x / 3^x wegkürzen und es bleibt nur noch stehen 3 * -3/3^x  stehen.

Folglich, wenn lim x->∞ geht = -3/3^∞   ergibt das = 1 ?

---

dann kann ich die 3^x / 3^x wegkürzen und es bleibt nur noch stehen 3 * -3/3^x  stehen.

Nein. Es bleibt 3·(1-3/3^x) stehen.

In der Aufgabenstellung muss es nicht  "→1"  heißen, sondern  "=1" .

---

\( G_{1}=\lim \limits_{x \rightarrow-3}\left(\frac{x^{2}-9}{2 x^{3}+54}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)}=\lim \limits_{x \rightarrow-3} \frac{(x-3)}{\left(x^{2}-3 x+9\right)}=-\frac{2}{9} \)

Damit ich kein weiteres Thema öffne zu einer ähnlichen Aufgabe der Grenzwerte.

Kann es sein, dass die Lösung zum Schluss falsch ist und es eigentlich -1/9 sein sollte?

Mich iritiert es gerade, dass der Nenner anscheinend falsch geklammert wurde :/. Wenn ich (x+3)*(x² -3x+9) multipliziere, dann kriege ich nicht 2x³ +54, sondern x³-9x +18 raus.

---

Bitte für eine neue Frage auch einen neuen Post machen. Dann findet das auch ein etwaiger Mitleser einfacher. Bzw. vielleicht wäre ich nur ein Gelegenheitshelfer und das würde untergehen ;).

 

Du hast in beiden Punkten (halb) recht^^.

1. Ja, in der Tat kommt da -1/9 raus.

Allerdings wenn man vom vorletzten Schritt zum letzten Schritt geht, so passt -2/9

2. Ja, da wurde falsch ausgeklammert. Aber nur um einen Faktor 2. (der letztlich dafür sorgt, dass wir -1/9) haben.

Multipliziere also nochmals aus. Du solltest mit 2(x+3)(x^2-3x+9) im Nenner auf 2x^3+54 kommen.

---

Super..jetzt bin ich zufrieden :D

Danke für deine Hilfe und den Tipp, das nächste Mal mache ich eine extra Frage dafür :)