Zeigen Sie: I_{k}=\frac{k-1}{k} I_{k-2} für alle k ≥ 2 .

Question

Text erkannt:

\( I_{k}:=\int \limits_{0}^{\pi / 2}(\cos \theta)^{k} \mathrm{~d} \theta, \quad k \in \mathbb{N}_{0} \)
(a) Zeigen Sie: \( I_{k}=\frac{k-1}{k} I_{k-2} \) für alle \( k \geq 2 \).
(b) Zeigen Sie: \( I_{2 n} I_{2 n+1}=\frac{1}{2 n+1} \frac{\pi}{2} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee. Wäre lieb wenn jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo

a ) deutet auf partielle Integration hin , ein cos abspalten =u'

b) sieht nach Induktion aus indem man a) benutzt.

lul

Comments

Da komm ich trotzdem leider nicht weiter:(

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Der Integrand hat die Form \(v(\theta)u'(\theta)\) mit \(v(\theta)=(\cos(\theta))^{k-1}\) und \(u(\theta)=\sin(\theta)\). Mit diesen Definitionen kannst Du jetzt die Regel der partiellen Integration anwenden.

Im nächsten Schritt ersetzt Du \((\sin(\theta))^2=1-(\cos(\theta))^2\)