Vektoren Abituraufgabe Flugzeug

Question

Aufgabe:

In einem Koordinatensystem beschreibt x1-x2- Ebene eine ebene Landschaft, in der sich ein Flughafen und eine Stadt befinden. Die Kirche der Stadt liegt im Ursprung. Die x1- Achse weist in die Ostrichtung, die x2- Achse in die Nordrichtung. Im folgenden werden die Flugbewegungen vereinfacht dargestellt.

Unmittelbar nach dem Abheben des Flugzeuges F1 im Punkt P (-3/-11/0) von der Startbahn geht das Flugzeug in eine geradlinige Flugbahn g über:  g: x(vektor)= (-3 -11 0) + t* (2,2 4 0,6) , t größer gleich 0 und kleiner gleich 15

Ein zweites Flugzeug F2 bewegt sich längs der Geraden h mit:

h: x(vektor)= (0 15 4) + s* (4 -3 0)

Die Längeneinheit beträgt 1 km.
t und s geben jeweils die Anzahl der Minuten an, die seit dem Start von F1 vergangen sind.

a) Bestimme die Position des Flugzeuges F1 nach 8 min. In welcher Höhe befindet es sich?

b) Berechne den Zeitpunkt und die Position, an dem sich das Flugzeug F1 in einer Höhe von 7.00 Metern befindet

c) Das Flugzeug F1 überfliegt in der Startphase die Spitze Q(12,4| 17| 1,3) eines Berges. Berechne nach wie vielen Minuten der Berg überflogen wird und ermittle den Abstand zwischen Flugzeug und Bergspitze . Bestimme auch den Steigungswinkel von F1

Ansatz:

zu a) Das Flugzeug befindet sich bei Position P (14,6| 21|4,8)  und fliegt auf einer Höhe von 4,8 km

b) Das Flugzeug ist nach 12 min auf einer Höhe von 7200m und ist auf Position P( 23,4| 37| 7,2)

Wie lautet der Ansatz für c?

Meine Idee wäre um den Abstand zu bestimmen den Betrag des Vektors zwischen dem Flugzeug und Berg zu bestimmen aber an welchem Punkt befindet sich das Flugzeug?

Comments

Aus welchem Abitur hast du die Aufgabe?

Answer 1

an welchem Punkt befindet sich das Flugzeug?

Oberhalb der Bergspitze. Also im Punkt (12,4 | 17 | z).

Comments

Aber welche Koordinate hat denn z dann? Oder muss man die nicht angeben?

---

Aber welche Koordinate hat denn z dann?

Rechne die aus, wenn du sie wissen willst.

Tipp. Der Punkt (12,4 | 17 | z) liegt auf der Geraden g.

Oder muss man die nicht angeben?

Man muss sie nicht angeben.

Angesichts der Tatsache, dass du berechnen sollst, nach wie vielen Minuten F1 an diesem Punkt ist und den Abstand zwischen Flugzeug und Bergspitze berechnen sollst, ist es zweckmäßig, z zu berechnen.

Answer 2

Hallo,

a und b sind richtig.

Bei c) erhältst du die Gleichung

\( \left(\begin{array}{c}-3 \\ -11 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}2,2 \\ 4 \\ 0,6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12,4 \\ 17 \\ z\end{array}\right) \)

Die 1. und 2. Zeile ergeben t = 7 und damit erhältst du in der 3. Zeile 4,2 für z.

Der Abstand beträgt dann 4,2 - 1,3 = 2,9.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!

Wenn ich nun den Steigungswinkel des Flugzeuges berechnen will, muss ich das dann so machen?

Punkte sind Q( 12,4 | 17| 4,2) und P( -3|-11|0)

Steigungswinkel: alpha= tan^-1(m)

Da eine Steigung ja nur in x2 und x3 existiert berücksichtigt ich die x1 Koordinaten nicht.

m= 17-4,2/17+11

= 0,45

Alpha = 24,5°

Der Steigungswinkel beträgt 24,5°

---

Den Steigungswinkel zwischen Gerade und Ebene berechnest du mit

\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|} \)

u = Richtungsvektor der Geraden, v = Normalenvektor der Ebene

Der Zähler ist das Skalarprodukt der Vektoren, der Nenner das Produkt der Längen/Beträge.

\( \begin{aligned} \sin \alpha & =\frac{\left(\begin{array}{l}2,2 \\ 4 \\ 0,6\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)}{\sqrt{2,2^{2}+4^{2}+0,6^{2}} \cdot \sqrt{1}} \\[15pt] & =\frac{0,6}{\frac{\sqrt{530}}{5}}\end{aligned} \)

\(\alpha = 7,49°\)

---

Viele Dank!

Weitere Fragen sind:

Ermittle die Geschwindigkeit des Flugzeug F2

bestelle rechnerisch die Lage der Flugbahnen F1 und F2

Ermittle die minimale Entfernung der Flugzeuge

Zeige dass sich die Flugbahn im Punkt Z(8|9|3) schneiden, wenn F2 1 km tiefer fliegt würde es zur Kollision kommen?

Wie lauet der Ansatz für diese Aufgaben?

---

Hallo,

Ermittle die Geschwindigkeit des Flugzeug F2

Berechne die Länge des Richtungsvektors von h = m pro Minute. Wandle dann in km/h um.

bestelle rechnerisch die Lage der Flugbahnen F1 und F2

Bei Bestellungen kann ich leider nicht helfen. ;-)

Ich nehme an, du sollst prüfen, ob sich die Flugbahnen schneiden. Setze dazu die Geradengleichungen gleich.

Zeige dass sich die Flugbahn im Punkt Z(8|9|3) schneiden, wenn F2 1 km tiefer fliegt würde es zur Kollision kommen?

Wie oben, aber mit 3 statt 4 als z-Koordinate des Stützvektors von h.

Sind s und t unterschiedlich, kommt es auch nicht einer Kollision, weil die Flugzeuge den Schnittpunkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten passieren.

---

Hallo, ich habe mir das ganze gerade nochmal angeschaut und frage mich jetzt wieso man eine 3 statt eine 4 als z Koordinate nehmen soll. Die z Koordinate ist doch 0, dann müsste man doch -1 nehmen oder?

Vielen Dank!

---

Wenn du die z-Koordinate des Richtungsvektors um 1 verminderst, ändert sich nur die "Neigung" der Fluglinie.

Um einen km tiefer zu fliegen, muss die z-Koordinate des Stützvektors um 1 reduziert werden.

Answer 3

Steigungswinkel des Flugzeuges über Elementargeometrie

TAN(α) = 0.6/√(2.2^2 + 4^2) --> α = 7.488°

Steigungswinkel des Flugzeuges über Vektorgeometrie

SIN(α) = [2.2, 4, 0.6]·[0, 0, 1] / (|[2.2, 4, 0.6]|·|[0, 0, 1]|) --> α = 7.488°

Comments

Danke, wie kommst du auf die Formel um den Winkel durch Elementargeometrie zu berechnen?

---

Der Tangens von einem Winkel ist die Gegenkathete durch die Ankathete.

Schau dir dazu evtl. folgende Skizze an

---

Der Steigungswinkel ist doch tan^-1(m)

Aber wie kommt man dann auf m also die Steigung bei Vektoren?

---

Gegenkathete durch Ankathete.

Das Flugzeug steigt um 0.6, wenn es √(2.2^2 + 4^2) ≈ 4.565084884 über den Grund fliegt. Also

m = 0.6/4.565084884 = 0.1314323863