Lösen sie die folgenden DGL:

Question

Aufgabe:

DGL lösen

Problem/Ansatz:

Kann mir einer erklären, wie ich die DGL lösen soll?

Ab hier haben wir uns mit "Trennung der Variablen" beschäftigt, aber sollte man hier es hier anwenden?

Answer 1

Hier ist die Trennbarkeit nach Variablen etwas verschleiert. Umordnen der Terme im Zähler und Ausklammern gibt

$$y' = \frac{xy-y -3x+3}{x^2-5x+6}= \frac{y(x-1) - 3(x-1)}{x^2-5x+6} = (y-3) \frac{x-1}{x^2-5x+6}$$

Damit ist die DGL trennbar.

Jetzt kannst du per Standard-Prozedur lösen:

$$\int \frac{dy}{y-3} = \int \frac{x-1}{x^2-5x+6}\;dx (+C_0)$$

$$\ln|y-3| = \ln\left|\frac{(x-3)^2}{x-2}\right|(+C_0)$$

$$\boxed{y= C\frac{(x-3)^2}{x-2}+3,\: C\in \mathbb R}$$

Comments

Hallo trancelocation,

danke für dein Antwort.

Ich hätte noch eine Frage, wie kann y(x-1)-3(x-1) zusammenfassen, dass man einfach | : y-3 machen kann?

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Na du klammerst per Distributivgesetz \((x-1)\) als gemeinsamen Faktor nach rechts aus.

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Ok, jetzt habe ich es verstanden.

Also wäre es (y-3)*(x-1)?

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Genau das steht doch da. Ich habe nur den Faktor (y-3) vor den Bruch gezogen, weil wir ja die Intention haben, die Variablen zu separieren.