Tipps für den Beweis eines Banachraumes?

Question

Hallo zusammen, ich habe mal meine Übungsaufgaben angehängt.

Den Beweis habe ich mehr oder weniger allgemein fertig gemacht, allerdings müsste ich soweit ich weiß noch das (Integral von f(x) im Betrag = 0) unter bekommen, in dem ich die Folge (fn)neN ersetzen.

Hier bin ich etwas überfragt. Irgendwelche Tipps?

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Text erkannt:

Aufgabe 2.1
Sei \( N=\left\{f \in R([a, b], \mathbb{R})\left|\int \limits_{a}^{b}\right| f(x) \mid d x=0\right\} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) die Supremumsnorm auf
\( R([a, b], \mathbb{R}) \). Zeigen Sie, dass \( \left(N,\|\cdot\|_{\infty}\right) \) ein Banachraum ist.
Definition 8.14.: Ein normiester veltorraum (V, II.I) heibt Banadhraum, wewn er als metisder Raum vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge konwergiert.
Vehtorraum: \( N=\left\{f \in R([a, b], \mathbb{R})\left|\int \limits_{a}^{b}\right| f(x) \mid d x=0\right\} \)
\( N \subset R([a, b], \mathbb{R}) \) ist \( V R \) laut 5.14 .
Norm: \( \|\cdot\|_{\infty} \), Supremuminorm auf \( R([a, b], \mathbb{R}) \)
Es sei (f \( \left.f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eire Caucly-Fo-lge bezinglid \( \|\cdot\|_{\infty} \). Für \( x \in N \) ist dann \( \left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right| \leq \sup _{x \in N}\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|=\left\|_{n}-f_{m}\right\|_{\infty} \) auch \( \left(f_{n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine (aucly-Folge.
Es sei \( f(x):=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \). Daun ist \( f \) beschranht, also ein Elevent von \( N \subset R([a, b), \mathbb{R}) \).
Z. \( \left\|f_{n}-f\right\|_{\infty} \rightarrow 0 \)
Sei \( \varepsilon>0 \). Sei \( \left\|f_{n}-f_{m}\right\|_{\infty} \leq \Sigma \forall n, m \geq n_{0} \). Sei nm \( x \in N \). So gibt es ein \( N_{1}(x) \) so, dass \( \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq \varepsilon \quad \forall n \geq N_{1}(x) \). ohne Einscbally gilt, dass \( N_{1}(x) \geq n_{0} \) ist. Für \( n \geq n_{0} \) gilt dann
\( \begin{aligned} \left|f_{n}(x)-f(x)\right| & \leq\left|f_{n}(x)-f_{N_{1}(x)}(x)\right|+\mid f_{N_{1}}(x) \\ & \leq \mid f_{n}-f_{N_{1}(x)} \|_{\infty}+\varepsilon \leq 2 \varepsilon \end{aligned} \)
Da \( x \in N \) belicbig, folgt \( \left\|f_{n}-f\right\|_{\infty} \leq 2 \varepsilon \quad \forall n \geq n_{0} . A s_{0} \quad f_{n} \rightarrow f \). Jomit ist jebe (auclyg toge honergut in \( N \) and \( (N,\|\| \).\( ) ein \) Banachramm.

Comments

allerdings müsste ich soweit ich weiß noch das (Integral von f(x) im Betrag = 0) unter bekommen, in dem ich die Folge (fn)neN ersetzen.

Diesen Text verstehe ich nicht!

Answer 1

Eine Skizze einer Lösung wäre:

1.  \((B[a,b], \|.\|_{\infty})\) - Raum der beschränkten Funktionen auf \(([a,b]\) mit der Sup-Norm - ist ein Banachraum. Mit den Unterpunkten

1.1 Wenn \((f_n)\) Cauchy-Folge in B ist, dann ist für jedes \(x \in [a,b]\)  \((f_n(x))\) Cauchy-Folge in \(\R\), also konvergent gegen ein f(x).

1.2 Dieses f ist wieder beschränkt, liegt also in B, und es gilt \(\|f_n-f\|_{\infty} \to 0\)

Das hast Du gezeigt.

2. Es gilt \(N \sub R[a,b] \sub B[a,b]\).

Wenn wir also eine Cauchy-Folge \((f_n)\) aus N bezüglich der Sup-Norm nehmen, dann existiert eine Funktion \(f \in B[a,b]\) mit \(\|f_n-f\|_{\infty} \to 0\). Offen ist dann noch, ob \(f \in N\) (Meinst Du das mit der Bemerkung?)

3. Für Folgen \((f_n)\) in \(R[a,b]\) und \(f\) in \(B[a,b]\) gilt: \(f \in R[a,b]\) und

$$\|f_n-f\|_{\infty} \to 0 \Rightarrow \int_a^bf_n \to \int_a^b f$$

Damit kannst Du die offene Frage positiv beantworten.

Ich vermute, dass Du das nicht alles zeigen brauchst, sondern Ihr einiges davon in der Vorlesung allgemein bewiesen habt.

Bemerkung: In der Sprache der Funktionalanalysis ist zu zeigen, dass N ein abgeschlossener Teilraum des Banach-Raums \((B[a,b], \|.\|_{\infty})\) ist.