Hilbertraum, selbstadjungiert, Endomorphismus

Question

$$\text{Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum.}$$

$$\text{Betrachten Sie die Abbildung}$$

$$(.)^{ad}: End(V)\rightarrow End(V), f\longmapsto f^{ad} \text{ Zeigen Sie:}$$

$$(a) (.)^{ad} \text{ ist c-linear (= sesqui-linear) und es gilt } (id_V)^{ad}=id_V$$

$$(b) (f\circ g)^{ad} \circ f^{ad} \text{ für alle } f,g \in End(V)$$

$$(c) \text{ Es gilt } (f^{ad})^{ad} = f \text{ für alle } f\in End(V). \text{ Folgern Sie, dass } f\longmapsto f^{ad} \text{ bijektiv ist.} $$

Ich weiß, was man für a) nachprüfen muss: $$f(\lambda \cdot v+v') = \bar \lambda (f(v)+f(v')$$

Aber ich weiß nicht, wie ich das machen kann? Vielleicht kann mir ja jemand mit einem Tipp oder Lösungsansatz weiterhelfen :)

Comments

Meinst du in (a) semilinear ?

Sesquilinear gibt keinen Sinn, da es keine bilineare Abbildung ist.

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Also wir hatten c-linear als Synonym zu sesqui-linear definiert, deswegen bin ich jetzt etwas verwirrt...

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Das komplexe Skalarprodukt \(<*,*>: V\times V\rightarrow \mathbb{C}\)

ist in der ersten Komponente \(\mathbb{C}\)-linear und in der zweiten

\(\mathbb{C}\)-semilinear, also ein-einhalb-fach linear.

Ein-einhalb heißt in Latein "Sesqui". Daher nennt man

das Skalarprodukt "sesquilinear", eine Sesquilinearform.

Du sollst aber in (a) zeigen:

\((f+g)^{adj}=f^{adj}+g^{adj}\) und \((\lambda\cdot f)^{adj}=\overline{\lambda}\cdot f^{adj}\),

dass also \(f\mapsto f^{adj}\) semilinear ist.

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ahhhh okay ich verstehe, das macht Sinn, danke

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Bei (b) meinst du sicher

\((f\circ g)^{adj}=g^{adj}\circ f^{adj}\), oder?

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oh ja, genau :)

Answer 1

(a):

Additivität:

\(<v,(f+g)^{adj}(w)>=<(f+g)(v),w>=<f(v)+g(v),w>=\)

\(=<f(v),w>+<g(v),w>=<v,f^{adj}(w)>+<v,g^{adj}(w)>=\)

\(=<v,f^{adj}(w)+g^{adj}(w)>=<v,(f^{adj}+g^{adj})(w)>\)

für alle \(v,w\in V\), also \((f+g)^{adj}=f^{adj}+g^{adj}\).

Semihomogenität:

\(<v,(\lambda f)^{adj}(w)>=<(\lambda f)(v),w>=<\lambda\cdot f(v),w>=\lambda<f(v),w>=\)

\(=\lambda<v,f^{adj}(w)>=<v,\overline{\lambda}f^{adj}(w)>\), also

\((\lambda f)^{adj}=\overline{\lambda}f^{adj}\).

Comments

aaahhhhh, vielen Dank, das macht wirklich Sinn!! Ich konnte es gut nachvollziehen, danke dir! Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich davon zu $$(id_V)^{ad}=id_V$$ komme?

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\(<v, (id)^{adj}(w)>=<id(v),w>=<v,w>=<v,id(w)>\)

für alle \(v,w\in V\), also \((id)^{adj}=id\).

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Vielen Dank!