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Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum.\text{Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbertraum.}

Betrachten Sie die Abbildung\text{Betrachten Sie die Abbildung}

(.)ad : End(V)End(V),ffad Zeigen Sie : (.)^{ad}: End(V)\rightarrow End(V), f\longmapsto f^{ad} \text{ Zeigen Sie:}

(a)(.)ad ist c-linear (= sesqui-linear) und es gilt (idV)ad=idV(a) (.)^{ad} \text{ ist c-linear (= sesqui-linear) und es gilt } (id_V)^{ad}=id_V

(b)(fg)adfad fu¨r alle f,gEnd(V)(b) (f\circ g)^{ad} \circ f^{ad} \text{ für alle } f,g \in End(V)

(c) Es gilt (fad)ad=f fu¨r alle fEnd(V). Folgern Sie, dass ffad bijektiv ist.(c) \text{ Es gilt } (f^{ad})^{ad} = f \text{ für alle } f\in End(V). \text{ Folgern Sie, dass } f\longmapsto f^{ad} \text{ bijektiv ist.}

Ich weiß, was man für a) nachprüfen muss: f(λv+v)=λˉ(f(v)+f(v)f(\lambda \cdot v+v') = \bar \lambda (f(v)+f(v')

Aber ich weiß nicht, wie ich das machen kann? Vielleicht kann mir ja jemand mit einem Tipp oder Lösungsansatz weiterhelfen :)

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Meinst du in (a) semilinear ?

Sesquilinear gibt keinen Sinn, da es keine bilineare Abbildung ist.

Also wir hatten c-linear als Synonym zu sesqui-linear definiert, deswegen bin ich jetzt etwas verwirrt...

Das komplexe Skalarprodukt <,> : V×VC<*,*>: V\times V\rightarrow \mathbb{C}

ist in der ersten Komponente C\mathbb{C}-linear und in der zweiten

C\mathbb{C}-semilinear, also ein-einhalb-fach linear.

Ein-einhalb heißt in Latein "Sesqui". Daher nennt man

das Skalarprodukt "sesquilinear", eine Sesquilinearform.

Du sollst aber in (a) zeigen:

(f+g)adj=fadj+gadj(f+g)^{adj}=f^{adj}+g^{adj} und (λf)adj=λfadj(\lambda\cdot f)^{adj}=\overline{\lambda}\cdot f^{adj},

dass also ffadjf\mapsto f^{adj} semilinear ist.

ahhhh okay ich verstehe, das macht Sinn, danke

Bei (b) meinst du sicher

(fg)adj=gadjfadj(f\circ g)^{adj}=g^{adj}\circ f^{adj}, oder?

oh ja, genau :)

1 Antwort

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(a):

Additivität:

<v,(f+g)adj(w)>=<(f+g)(v),w>=<f(v)+g(v),w>=<v,(f+g)^{adj}(w)>=<(f+g)(v),w>=<f(v)+g(v),w>=

=<f(v),w>+<g(v),w>=<v,fadj(w)>+<v,gadj(w)>==<f(v),w>+<g(v),w>=<v,f^{adj}(w)>+<v,g^{adj}(w)>=

=<v,fadj(w)+gadj(w)>=<v,(fadj+gadj)(w)>=<v,f^{adj}(w)+g^{adj}(w)>=<v,(f^{adj}+g^{adj})(w)>

für alle v,wVv,w\in V, also (f+g)adj=fadj+gadj(f+g)^{adj}=f^{adj}+g^{adj}.

Semihomogenität:

<v,(λf)adj(w)>=<(λf)(v),w>=<λf(v),w>=λ<f(v),w>=<v,(\lambda f)^{adj}(w)>=<(\lambda f)(v),w>=<\lambda\cdot f(v),w>=\lambda<f(v),w>=

=λ<v,fadj(w)>=<v,λfadj(w)>=\lambda<v,f^{adj}(w)>=<v,\overline{\lambda}f^{adj}(w)>, also

(λf)adj=λfadj(\lambda f)^{adj}=\overline{\lambda}f^{adj}.

Avatar von 29 k

aaahhhhh, vielen Dank, das macht wirklich Sinn!! Ich konnte es gut nachvollziehen, danke dir! Könntest du mir vielleicht noch einen Tipp geben, wie ich davon zu (idV)ad=idV(id_V)^{ad}=id_V komme?

<v,(id)adj(w)>=<id(v),w>=<v,w>=<v,id(w)><v, (id)^{adj}(w)>=<id(v),w>=<v,w>=<v,id(w)>

für alle v,wVv,w\in V, also (id)adj=id(id)^{adj}=id.

Vielen Dank!

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