\(f:\; \mathbb{R}^n\to \mathbb{R},\; x\mapsto \|x-x_0\|\) ist als Hintereinanderausführung
stetiger Abbildungen stetig,
Das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer
stetigen Abbildung ist abgeschlossen.
Daher ist \(\overline{B_r(x_0)} = f^{-1}([0,r])\) abgeschlossen.