Aufgabe:
2.3 Sei (a) \( \mathcal{E}:=M:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}<1\right\} \),
(b) \( \mathcal{E}:=M:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2} \geq y\right\} \), und
\( \mathcal{G}:=\left\{\mathbf{g} \subset M: \text { Es gibt } \mathbf{A}, \mathbf{B} \in M \text { mit } \mathbf{A} \neq \mathbf{B} \text { und } \mathbf{g}=\mathbf{g}_{\mathbf{A B}} \cap M\right\} . \)
Dies ist die relative euklidische Geometrie, \( (\mathcal{E}, \mathcal{G})=\mathbb{E}_{\mid M}^{2} \). Sei die Relation \( \mathcal{Z} \subset \mathcal{E} \times \) \( \mathcal{E} \times \mathcal{E} \) die Einschränkung der Zwischenrelation von \( \mathbb{E}^{2} \). Bekanntlich ist \( (\mathcal{E}, \mathcal{G}) \) eine Inzidenzebene. Untersuchen Sie jeweils, welche der Anordnungsaxiome (A1), (A2), (A3) und (A4) von \( (\mathcal{E}, \mathcal{G}, \mathcal{Z}) \) erfüllt werden.
Ansatz:
Aufgabe a) haben wir gelöst, bei b) hängt es etwas.
(A1) und (A3) gelten immer aufgrund unserer Zwischenrelation: A,B,C paarweise verschieden und immer B zwischen A und C.
Bei (A2) haben wir den unsicher Ansatz das es ja nicht sein weil die Geraden innerhalb der Parabel unterbrochen werden und damit nie zu zwei verschiedenen Punkten A,C stets Punkte B,D existieren können, oder sie können existieren, aber sollte D auf der Parabel liegen gibt es kein E dahinter.
(A4) würden wir über ein Gegenbeispiel machen A(0,0) B(0,1) C(1,1). Wir würden halt sagen das an dieser Stelle kein Dreieck entsteht da die Strecke AC nicht existier und damit kann der Satz von Pasch (A4) nicht erfüllt werden.
Wir sind uns relativ unsicher bei diesen Ansätzen.
Danke für die Hilfe im Voraus.
