Exponenten sind komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

Stelle die komplexe Zahl in x+iy dar

1. $$2e^{3i \pi /4}$$

2. $$ e^{1+5i}$$

Problem/Ansatz:

Die Form die gegeben ist ist ja $$z=r*e^{i \phi}$$

Bei 1 ist r=2, bei 2 ist r=1.

Aber was mache ich mit den Exponenten?

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft die Euler Formel, \(\pink{e^{\pm i\varphi}=\cos\varphi\pm i\,\sin\varphi}\), weiter:

$$2e^{\pink{i\frac{3\pi}{4}}}=2\left(\pink{\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}}\right)=2\left(-\frac{1}{\sqrt2}+i\,\frac{1}{\sqrt2}\right)=-\sqrt2+i\,\sqrt2$$

$$e^{1+5i}=e^1\cdot\pink{e^{5i}}=e\left(\pink{\cos5+i\sin5}\right)=e\cos5+i\,e\sin5\approx0,77107-i\,2,6066$$

Beachte, dass hier alle Winkel im Bogenmaß RAD gemessen werden.

Answer 2

\(2e^{3i \pi /4}\)=2(e^πi)^3/4=2·(-1)^3/4=√2(i-1)