Kurze DGL berechnen - Frage dazu

Question

Bestimmen Sie im Folgenden die entsprechenden Parameter so, dass die angegebenen Funktionen Lösungen der zugehörigen Differenzialgleichungen sind.

y' = 2y und y(x) = 5e^(rx)

r = ?

Ich brauche bitte einen Rechenweg, wie ich r berechnen soll. Mit der Lösung selbst kann ich also leider nichts anfangen!

Answer 1

Hallo,

\( \begin{array}{l}y^{\prime}=2 y \\ \frac{d y}{d x}=2 y \\ \frac{d y}{y}=2 d x \\ \ln |y|=2 x+C \quad| e^{\text {hoch }} \\ |y|=e^{2 x+C}=e^{2 x} e^{C}\end{array} \)

y= \( e^{2x} \) *  ± \( e^{C} \)

C₁= ± \( e^{C} \)

\( y=\operatorname{C}_{1} e^{2x} \)

\( C_{1} e^{2 x}=5 e^{r x} \rightarrow \)
Exponentenvergleich
\( 2 x=r x \rightarrow r=2 \)

Answer 2

Du setzt die gegebene Funktion in die DGL erst einmal ein:

$$\left(5e^{rx} \right)' = 5re^{rx} \stackrel{!}{=}2\cdot 5e^{rx} = 10e^{rx}$$

Also muss gelten:

$$5r=10 \Rightarrow r=2$$