Bestimmen sie den größtmöglichen Abstand den Q zu einer Ebene der Schar haben kann

Question

Aufgabe:

Gegeben:

E_a:2ax+ay-4z=a

Q(3/-5/-2)

Bestimmen sie den größtmöglichen Abstand den Q zu einer Ebene der Schar haben kann

Problem/Ansatz:

ich hab erstmal ganz normal die HNF bestimmt und Q eingesetzt.

Ich frag mich nur was man dann mit dem Ergebnis machen sollten.

Ableiten?

Ableitung gleich null setzten?

Untersuchen a gegen unendlich?

Hilfe

Answer 1

Genau, das ist richtig. Ableiten, dann Null setzten und auf einen Hochpunkt überprüfen, dann ist der Abstand maximal.

Answer 2

Das geht schnell mit der Abstandsformel zwischen Punkt \(Q=(3,-5,-2)\) und Ebene \(E_a\).

Der Normalenvektor von \(E_a\) ist \(n_a = (2a,a,-4)\).

$$d(Q,E_a) = \frac{|Q\cdot n_a - a|}{|n_a|}  = \frac{6a-5a+8-a}{|n_a|}= \frac 8{|n_a|}$$
Dieser Abstand ist maximal, wenn \(|n_a|\) minimal ist.
$$|n_a|^2= 4a^2+a^2+16=5a^2+16 \geq 16$$Maximaler Abstand ist daher bei \(a=0 \Rightarrow |n_0| = 4\)
$$d(Q,E_0) = \frac 8{|n_0|}=\frac 84 = 2 $$