Begründen Sie ob f in 0 stetig ist oder nicht.

Question

Sei f: C->R mit

f(z) = \( \frac{(Re(z))^2}{|z|} \)   für z≠0

f(z) = 0  für z=0

Begründen Sie ob f in 0 stetig ist oder nicht.

Dazu müsste ja lim_z->0 \( \frac{(Re(z))^2}{|z|} \) = 0 gelten. Wie zeigt man dass das gilt/nicht gilt?

Comments

\( 0 \le Re(z)²/|z| \le |z|²/|z| = |z| \to 0 \)

Answer 1

\( \frac{r^2cos^2φ}{r} =r\cdot cos^2φ\)

Der Grenzwert davon für r →0 ist 0 und stimmt mit dem Funktionswert an der Stelle 0 überein.

Answer 2

Setze \(z=x+iy\) mit \(x,y \in \mathbb R\).

Nun untersuchst du den Grenzwert

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Da für \(x=0,y\neq 0\) der Ausdruck sowieso gleich 0 ist, betrachten wir nur noch den Fall \(x\neq 0\):

$$0\leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} \stackrel{\stackrel{x^2=|x|^2}{\sqrt{x^2}=|x|}}{=}|x| \stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\longrightarrow}0$$