Aufgabe:
Aufgabe 4.2
Es seien \( \left(X, d_{X}\right) \) und \( \left(Y, d_{Y}\right) \) metrische Räume und \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Ist \( A \subseteq X \) eine Teilmenge von \( X \), so versehen wir \( A \) mit der von \( X \) eingeschränkten Metrik \( d_{A}(x, y):=d_{X}(x, y) \) für \( x, y \in A \) (und analog für \( B \subseteq Y \) ). Zeigen Sie:
a) Ist \( f \) stetig, so auch die Einschränkung \( f_{\mid A}: A \rightarrow Y \) für alle \( A \subseteq X \).
b) Ist \( f \) stetig und \( B \subseteq Y \) mit \( f(X) \subseteq B \), so ist auch \( f: X \rightarrow B \) stetig.
c) Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:
(i) \( f \) ist stetig im Punkt \( x \in X \).
(ii) Es existiert ein \( \varepsilon>0 \) mit \( f_{\mid B_{\varepsilon}(x)}: B_{\varepsilon}(x) \rightarrow Y \) ist stetig in \( x \).
d) Sind \( A_{1}, A_{2} \subseteq X \) abgeschlossen mit \( X=A_{1} \cup A_{2} \) so gilt \( f \) ist stetig \( \Longleftrightarrow f_{\mid A_{1}} \) und \( f_{\mid A_{2}} \) sind stetig.
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass diese Äquivalenz im allgemeinen nicht gilt, wenn \( A_{1} \) oder \( A_{2} \) nicht abgeschlossen sind.
Problem/Ansatz:
Aufgaben a) und b) sind einfach.
Bei der c) ii) habe ich allerdings das Problem, dass ich nicht genau weiß, was mit B_{\varepsilon}(x) gemeint ist. Mag mir das vielleicht jemand erklären?
