Beweisen, dass die Menge offen ist:

Question

Aufgabe:

Sei $A=\{z \in \mathbb{C}: 3<|z|<4\}$.

Beweisen Sie, dass $A$ offen in $(\mathbb{C},|\cdot|)$ ist.

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass A offen ist, muss ja gezeigt werden, dass alle Punkte von A innere Punkte sind. Wie ich mit $(\mathbb{C},|\cdot|)$ verfahren soll, verwirrt mich allerdings bzw. ob dies als formaler Beweis so ausreicht?

Comments

Hallo was meinst du mit "dies" in  " ob dies als formaler Beweis so ausreicht"

du musst zeigen dass es um jeden Punkt der Menge eine Umgebung innerhalb A gibt.

lul

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Also reicht es für den Beweis, wenn man zeigt, dass es eine ε-Umgebung gibt, welche ganz in A liegt?? Wenn ja, ist mir das genaue vorgehen aber immer noch nicht klar ☺

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Moinsen,

also es gibt auch hier mehrere Möglichkeiten. Eine der einfachsten ist, wenn ihr alle Dinge hattet, die ich jetzt im Beweis anspreche, zu zeigen, dass das Komplement abgeschlossen ist.

Dafür gibt es den Satz: Eine Menge ist genau dann abgeschlossene, falls für jede konvergente Folge in der Menge der Grenzwert auch in der Menge liegt. Um den Beweis zu führen, brauchst du aber das Wissen um Konvergenz und das Argument der Stetigkeit.

Liebe Grüße

Answer 1

Da du in der letzten Zeit einige topologische Fragen hattest - hier die Hochgeschwindigkeitsantwort:

Die Abbildung $f(z) = |z|$ ist stetig:

$f:\; (\mathbb C,|\cdot |) \rightarrow (\mathbb R, |\cdot |)$

Das Intervall $(3,4)$ ist offen in $(\mathbb R, |\cdot|)$.

Das Urbild einer offenen Menge bzgl. einer stetigen Abbildung ist auch wieder offen.

Da $A= f^{-1}(3,4)$, muss A auch offen sein.

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Danke - Damit kann gut was Anfangen