Komplexe Zahlen / Matrix / homogenes System / Diff

Question

a) Eigenwerte: lambda1 = 1+2i und lambda2 = 1-2i
Eigenvektoren: v1 ( (1+i)/2; 1) und v2 = ( (1-i)/2; 1)

b) Ich bekomme beim umformen nie auf das richtige Ergebnis. Könnte mir bitte jemand helfen!

Text erkannt:

Aufgabe 6.6. Ermitteln Sie die allgemeine reelle Lösung des Systems
\( \dot{\vec{x}}=\left(\begin{array}{ll} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{array}\right) \vec{x} \)
auf folgende Weise.
(a) Berechnen Sie die komplexen Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) der Matrix und zeigen Sie, dass \( \lambda_{2}=\overline{\lambda_{1}} \) gilt. Ermitteln Sie anschließend Eigenvektoren \( \vec{v}_{1} \) zu \( \lambda_{1} \) und \( \vec{v}_{2} \) zu \( \lambda_{2} \), sodass \( \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1} \) gilt.
(b) Die allgemeine komplexe Lösung
\( \vec{x}(t)=c_{1} e^{\lambda_{1} t} \vec{v}_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} \vec{v}_{2}, \quad c_{1}, c_{2} \in \mathbb{C} \)
des Systems ist genau dann reell, wenn \( c_{2}=\overline{c_{1}} \) (dies können Sie ohne Nachweis annehmen). Setzen Sie \( c_{1}=a+b i \) und \( c_{2}=a-b i \) und formen Sie \( \vec{x}(t) \) auf die Form
\( \vec{x}(t)=a \vec{y}_{1}(t)+b \vec{y}_{2}(t), \quad a, b \in \mathbb{R} \)
mit reellen \( \vec{y}_{1}, \vec{y}_{2} \) um.
Hinweis. Die Eulersche Formel \( e^{i \alpha}=\cos (\alpha)+i \sin (\alpha) \) sowie die Eigenschaften \( \cos (-\alpha)=\cos (\alpha) \) und \( \sin (-\alpha)=-\sin (\alpha) \) dürften hilfreich sein.

Answer 1

Hallo,

...................................

e^(1+2i)t= e^t cos(2t) +i e^t sin(2t)

e^(1-2i)t= e^t cos(2t) -i e^t sin(2t)

Comments

Danke! Bei Punkt b) wie würde es dann weiter gehen?

c1 = (a+bi) ; c2 = (a-bi)

e^(2it)=(cos(2t)+i*sin(2t))

Wenn ichs einsetze habe ich: x(t) = c1*e^((1+2i)t)*v1+c2*e^((1-2i)t)*v2 =

= (a+bi)e^((1+2i)t) *v1+(a-bi)e^((1-2i)t) *v2 =

= (a+bi)e^(t)*(cos(2t)+i*sin(2t))v1+(a-bi)e^(t)*(cos(-2t)+i*sin(-2t))*v2 =

= (a+bi)e^(t)*(cos(2t)+i*sin(2t))v1+(a-bi)e^(t)*(cos(2t)-i*sin(2t))*v2

Weiter komme ich nicht.. Komme nicht auf das richtige Endergebnis

Herauskommen soll = a*y1 + b*y2 ( = a*e^((1+2i)t)*v1+b*e^((1-2i)t)*v2 )