n^n/2^n >= n! für n >= 6

Question

Aufgabe:

Aufgabe: Beweise, dass \( \frac{n^{n}}{2^{n}} \geq n! \)  für alle n \(\geq\) 6 gilt. Problem/Ansatz: Ich habe Induktion probiert, komme aber zu keinem Ergebnis.

Problem/Ansatz:

Ich habe Induktion probiert aber habe versagt.

Comments

Hallo
versuch es mit (n/2)^n/n!>1
lul

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Ohne groß drüber nachzudenken(ob das hilfreich ist) , würde mir einfallen: Induktion und dann bei (n+1)^n *(n+1)/ 2^n Binomischen Lehrsatz for (n+1)^n zu nutzen :)

Answer 1

Induktionsschritt etwa so:

\( \frac{(n+1)^{(n+1)}}{2^{n+1}} =  \frac{(n+1)^n \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} \)

binomische Formel im Zähler

\(  =  \frac{(n^n +n \cdot n^{n-1}\cdot 1+\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} \)

\(  =  \frac{(2n^n +\dots) \cdot (n+1)}{2^{n}\cdot 2} \)

\(  =  \frac{2n^n}{2^{n}} \cdot \frac{n+1}{2} =  \frac{n^n}{2^{n}} \cdot (n+1) \)

Ind. vor.

\(  \le n! \cdot (n+1) = (n+1)!\)