(a) Sei \( \left(f_{n}\right) \) eine Folge integrierbarer Funktionen \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} \), welche gleichmäßig gegen 0 konvergiert, d.h.,
\( \left\|f_{n}\right\|_{\infty} \rightarrow 0 \text { für } n \rightarrow \infty \)
wobei \( \|g\|_{\infty}:=\sup _{t \in[0,1]}|g(t)| \). Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0 . \)
(b) Berechnen Sie den Grenzwert
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{n} \sin ^{n}(n x) \mathrm{d} x \)
Problem/Ansatz:
Bei Aufgabeteil a) habe ich keine Idee wie ich anfangen soll.
Bei b) ist es nicht erlaubt das Integral zu berechnen, deswegen weiß ich nicht genau wie ich es sonst anstellen soll