Bestimmen Sie das Integral als Grenzwert von A

Question

Aufgabe:

7 a) Bestimmen Sie für das Integral \( \int \limits_{0}^{2} x^{2} d x \) einen Näherungswert, indem Sie das Intervall \( [0 ; 2] \) in zehn gleiche Teile teilen und die in Fig. .2 dargestellte Rechteckssumme \( \mathrm{A}_{10} \) be-
rechnen. b) Bestimmen Sie das Integral \( \int \limits_{0}^{2} x^{2} d x \) als Grenzwert von \( A_{n} \) für \( n \rightarrow \infty \)

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich 2,28 FE berechnet, was relativ stark von den korrekten 2,667 abweicht. Dies ist aber vermutlich normal, wegen der Ungenauigkeit der Rechtecke?

Bei b) weiß ich leider nicht was ich jetzt genau mit dem Grenzwert anfangen soll. Das Integral ist doch schon begrenzt von 0 bis 2 oder nicht?

Answer 1

Dein a) ist richtig:

\( \sum\limits_{k=0}^{9}{0,2*(k*0,2)^{2}} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{9}{0,2*(k*0,2)^{2}} \) = 0,2³*\( \sum\limits_{k=1}^{9}{k^{2}} \)= 0,008*9*(9+1)*(2*9+1)/6 = 2,28

Die Summenformel steht unten. 

Mache n Intervalle:

\( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\frac{2}{n}(k*\frac{2}{n})^{2}} \) =\( (\frac{2}{n})^{3} \) \( \sum\limits_{k=1}^{n-1}{k^{2}} \)=\( (\frac{2}{n})^{3} \)*(n-1)n(2n-1)/6   →   8*2/6=8/3=2,666....für n →∞

Grenzwertbildung: (n-1)n(2n-1)/n³ = (2n³ + ...)/n³ → 2 für n →∞

Comments

Reicht das als Erklärung?

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Das habe ich leider nicht verstanden. Wir haben auch gerade erst mit der Integralrechnung angefangen und hatten sowas wie Summenzeichen, Summenformel usw noch nicht. Gibt es nicht einen einfachen Weg für Anfänger?

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zu a): Du hast also die 9 Summanden hingeschrieben und zusammengezählt. Das ist völlig in Ordnung.

zu b): Das geht nicht ohne Summenformel. Du musst wissen, dass:

 \( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^{2}} \) = 1²+2²+3²+4²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6 

und dass:
Grenzwertbildung: n(n+1)(2n+1)/n³

= (2n³ + unwesentliche Summanden)/n³ → 2 für n →∞

Answer 2

Aloha :)$$A_{10}=\sum\limits_{k=0}^{9}f\left(k\cdot\frac{2}{10}\right)\cdot\frac{2}{10}=\sum\limits_{k=0}^{9}\frac{4k^2}{100}\cdot\frac{2}{10}=\frac{8}{1000}\sum\limits_{k=0}^{9}k^2=\frac{8}{1000}\cdot285=2,28$$Nun sollst du nicht mehr nur 10 Abschnitte betrachten, sondern eine beliebige Anzahl von \(n\) Abschnitten und diese Anzahl dann beliebig groß werden lassen:$$A_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}f\left(k\cdot\frac{2}{n}\right)\cdot\frac{2}{n}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{4k^2}{n^2}\cdot\frac{2}{n}=\frac{8}{n^3}\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2$$Jetzt musst du irgendwie an die Summenformel kommen. Vermutlich ist sie als Tipp gegeben oder sie wurde im Unterricht behandelt. Es gilt:$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}k^2=\frac{(2n-1)(n-1)n}{6}$$Damit wird:$$A_n=\frac{8}{n^3}\cdot\frac{(2n-1)(n-1)n}{6}=\frac{4}{3}\cdot\frac{2n-1}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n}{n}$$$$\phantom{A_n}=\frac{4}{3}\left(2-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)\to\frac{4}{3}\cdot2=\frac{8}{3}$$Für \(n\to\infty\) erhalten wir \(A_\infty=\frac{8}{3}\).

Comments

Das habe ich leider nicht verstanden. Wir haben auch gerade erst mit der Integralrechnung angefangen und hatten sowas wie Summenzeichen, Summenformel usw noch nicht. Gibt es nicht einen einfachen Weg für Anfänger?

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Hat das etwas mit der Ober- und Untersumme zutun?

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Bei Teil (b) führt an der Summenformel kein Weg vorbei. Daher ist die Aufgabe ohne Kenntnis von Summen eigentlich nicht lösbar.

Was wir hier berechnet haben ist die Untersumme, aber auch das werden Summenzeichen gebraucht.