Grenzwert integral ist 0

Question

(a) Sei \( \left(f_{n}\right) \) eine Folge integrierbarer Funktionen \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} \), welche gleichmäßig gegen 0 konvergiert, d.h.,

\( \left\|f_{n}\right\|_{\infty} \rightarrow 0 \text { für } n \rightarrow \infty \)
wobei \( \|g\|_{\infty}:=\sup _{t \in[0,1]}|g(t)| \). Zeigen Sie, dass
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0 . \)
(b) Berechnen Sie den Grenzwert
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{n} \sin ^{n}(n x) \mathrm{d} x \)

Problem/Ansatz:

Bei Aufgabeteil a) habe ich keine Idee wie ich anfangen soll.

Bei b) ist es nicht erlaubt das Integral zu berechnen, deswegen weiß ich nicht genau wie ich es sonst anstellen soll

Comments

a)

$$ 0 \le \left| \int_0^1 f_n(x) ~\textrm dx\right| \le \int_0^1 |f_n(x)|~\textrm dx \le \int_0^1 ||f_n||_\infty ~\textrm dx = ||f_n||_\infty \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 $$
b) Zeige, dass
$$ ||x^n(1-x)^n\sin^n(nx)||_\infty \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 $$

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Wie würde ich den Grenzwert denn zeigen? Sinus ist doch gar nicht für so ein n definiert oder nicht?

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Beachte, dass \( |\sin(x)| \leq 1\) für alle \( x\in\mathbb{R} \)

Versuche damit den Ausdruck abzuschätzen.

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Sinus ist auf ganz ℝ definiert.

$$ | x^n (1-x)^n \sin^n(nx) | \le |x^n(1-x)^n| ~\forall x $$

Da Sinus betragsmäßig ≤1

Insbesondere ist

$$ || x^n (1-x)^n \sin^n(nx) ||_\infty \le ||x^n(1-x)^n||_\infty $$

Da du es hier mit stetigen Funktionen auf dem Kompakta [0,1] zu tun hast, ist sup=max. Es reicht also zu zeigen, dass das Maximum von

\( |x^n(1-x)^n|\)

auf [0,1] für \( n\to\infty\) gegen 0 geht.